134 E. Neovius. 



spiralbâgar {AM, ÄN), hvilket var nödvändigt, så länge exponenten definie- 

 rades såsom förhållandet mellan elementcrnas antal i dessa bågar {A3I, AN), 

 blir öfverflödigt, så snart tangenterna {AK, AL) substitueras i stället för 

 elementernas antal; ty dessa tangenter äro, såsom nyss bevistes, oberoende af 

 elementenias antal och således äfven oberoende af första elementernas storlek. 



De spiraler och tangenter, hvilka vi här betraktat, äro väl närmast att 

 anse såsom nödvändiga förutsättningar för eller momenter uti utvecklingen af 

 det allmänna begreppet om digniteter och rötter; men dessa linier hafva lik- 

 väl för läran om komplexa qvantiteter en allmännare, af dignitetsbegreppet 

 oberoende betydelse; de kunna nemligen tänkas konstruerade för hvarje gifven 

 punkt (il/) i koordinatplanet (Fig. 3), antingen densamma representerar en 

 dignitet eller icke, och det torde vara på sitt ställe att redan här anmärka, 

 att hvarje punkt {31) i koordinatplanet (Fig. 6) kan förenas med enhetens 

 slutpunkt (A) icke blott genom eii, utan genom oändligt många logaritmiska 

 spiraler {AM, ANLM, AN^^L^M o. s. v.), hvilka beskrifva ett olika antal 

 hvarf omkring origo (0). Till hvar och en af dessa spiraler hör en skild 

 tangent, som är dragen från enhetens slutpunkt {A) och utgör gränsen för 

 produkten af första elementet med elementernas antal (såsom AK, AK', AK^ 

 o. s. v., närmare härom i § 18). Men ehuru således problemet att konstruera 

 nämnde spiral och tangent för en gifven slutpunkt (ilf) har oändligt många 

 solutioner, så är deremot det omvända problemet fullständigt bestämdt. I sjelfva 

 verket, om tangenten {AK, Fig. 2) antages vara gifven, så kunna vi tänka 

 oss densamma delad i lika stora delar, hvars antal vi till en början anse vara 

 finit. På den första eller närmast enheten belägna delen {Al) kan en loga- 

 ritmisk polygon uppritas enligt § 4. Denna polygon närmar sig påtagligen 

 till en logaritmisk spiral, då delarnes antal i tangenten tankes tilltaga i oänd- 

 lighet och derjemte närmar sig polygonens slutpunkt till ett visst gränsläge 

 eller en viss punkt {M) i koordinatplanet, hvilken sålunda blir fullständigt 

 bestämd genom den gifna tangenten {AK). I anledning häraf vilja vi kalla 

 dessa tangenter för hestämmande tangenter i anseende såväl till spiralbågarne 

 som till deras slutpunkter. Hvarje bestämmande tangent motsvaras således af 

 en genom densamma fullständig bestämd punkt i koordinatplanet; men deremot 

 hör till hvarje gifven punkt oändligt många olika bestämmande tangenter, 

 enligt hvad nyss framställdes. 



Med hestämmande tangent till en gifven från enhetens slutpunkt {A, Fig. 2 

 eller 3) utgående logaritmisk sinralhåge {AM) eller till samma hages slutpunkt 

 {M) förstå vi en rät Unie {AK), som tangerar hågen i hörjepunkten {förestäl- 

 lande enheten); är konstruerad från denna punkt åt samma sida som hågen, 



