126 E. Neovius. 



tangenterna {AK, AL), som jemte deras slutpunkter (Ä', L) föreställa logarit- 

 mer, i det andra konstrueras sjelfva spiralerna {AM, AN), hvars slutpunkter 

 {M, N) med deras radier {OM, ON) föreställa de motsvarande talen; punkten 

 {A), som föreställer noll i det förra planet, betecknar enheten i det sednare. 



§ 11. Om första elementet {Aa, Fig. 3) till en spiral betecknas med s 

 och radien (Ort), som dragés från origo till samma elements slutpunkt, be- 

 tecknas med Qi, så måste denna radie — såsom utgörande en sida i en 

 triangel {OAa), hvars öfriga sidor äro enheten och s — blifva lika med 

 1 -{- .s, enligt additionens allmänna definition (§ 2), och bestämmande tan- 

 genten till denna spiral, bestående af ett enda element, blir enligt definitionen 

 i § 9 lika med detta element, d. v. s. lika med s {= Aa eller Ad). Om 

 Qi betecknar radien {Oh) till andra elementets slutpunkt, så blir enligt spira- 

 lens definition (§ 7) pa = {Oa)~ = (1 -[- sf, och bestämmande tangenten 

 till denna spiral af två elementer blir lika med 2s (= AV). Bestämmande 

 tangenterna {Ad , Ah', . . .) till de successiva punkterna (rt, h, . . .) af 

 samma spiral uttrjxkas således i ordning genom termerna i serien 



o, s, 2s, ms, 



och de mot dessa tangenter svarande slutradierna {Oa, Oh, . . .) till spiral- 

 bågarne uttryckas i samma ordning, genom termerna i serien 



1, 1 + s, (1 + sf, (1 + sf. 



Emedan nu termerna i den förra serien, enligt den af oss antagna definitionen 

 (§ 10), äro logaritmer för de motsvarande termerna i den sednare, så kan 

 man säga, att logai-itmen och motsvarande talet äro termer af samma ordnings- 

 nummer i en aritmetisk och geometrisk serie, hvars första termer äro respek- 

 tivt noll och ett, samt i hvilka de närmast följande termerna skilja sig från 

 de första med en oändligt liten qvantitet, som för begge serierna är lika eller 

 representeras af samma räta Unie {Aa =- Aa' = s). Häraf blir det redan 

 tydligt, att vi i det föregående begagnat ordet logaritm i en mening, som 

 öfverensttämmer med den vanliga. Öfverensstämmelsen blir ännu tydligare 

 genom följande resonnement: 



Af begreppet om logaritmiska spiraler följer, att alla elementer till en 

 och samma spiral {AM, Fig. 3) hafva relativt till hvar sin radie en konstant 



rigtning och storlek (4i = "^ ^ ö^t = . . .]. I stöd häraf kan man före- 

 ställa sig, att hvarje logaritm {AK) och dess motsvarande tal {031) uppkomma 

 genom tvenne samtidiga rörelser. Antagom nemligen, att tvenne punkter i 

 samma ögonblick utgå från enhetens slutpunkt {A) och att begge de rörliga 



