128 E. Neovius. 



n 



a" ^= h eller a = |/ ?> , der a, l, n föreställa komplexa qvantiteter, så blir 



1 1 11 



äfveii h" = a, hvaraf b» ^ y b . 



§ 13. Vi liafva genom det anförda sökt utreda, hvilket det allmännaste 

 eller högsta begreppet är, som man kan göra sig om en logaritm, en dignitet 

 och dess exponent, en rot och dess index; men emedan betydelsen och värdet 

 af definitioner egentligen visar sig i den teori, som på dem grundas, torde 

 det vara skäl att enligt föregående definitioner här bevisa de hufvudsakliga 

 teoremerna och formlerna i läran om logaritmer, digniteter och rötter. Alla 

 bokstafsqvantiteter, såväl digniteter och rötter som exponenter och indices, 

 föreställa naturligtvis här allmänna eller kompexa qvantiteter. 



ö) Om s och s föreställa första elementerna till tvenne logaritmiska 

 spiraler, livars slutpunkter representera komplexa qvantiteterna a och b, och 

 om begge spiralerna tänkas innehålla samma oändliga antal {m) elementer, så 

 blir enligt § 11 



a = (I -\- sY" och & == (1 -j- s'}'". 



Multipliceras eqvationerna, så fås ab ^= {I -\- s)'" (1 -|~ *')'"• — Emedan 

 m här föreställer ett antal, d. ä. ett positivt helt tal, så kunna digniteterna 

 betraktas såsom produkter. Men en produkt är oberoende af faktorernas ord- 

 ning (§ 2, form. 1); alltså kan man multiplicera faktorerna 1-)-^ ^^^^ ^ ~\~ ^' 

 två om två och man erhåller 



ab = {I + s + s' -)- ss')'" 

 eller, då termen af 2:a ordningen uteslutes, 



«5 = (1 -^ s 4- s'y". 



Enligt denna formel representeras produkten ab af slutpunkten till en logarit- 

 misk spiral, hvars första element är s -|- s och der antalet af elementer är 

 m. — Emedan nu första elementerna till de tre spiraler, hvars slutpunkter 

 representera qvantiteterna a, b och ab, äro s, s och s -j- s' och elementernas 

 antal i hvar och en af dessa spiraler är lika med m, så blifva bestämmande 

 tangenterna respektivt lika med ms , ws' och m (s -\~ s) , och således 

 log rt = ms, log b = ms', log ab = vi (s -\- s'). Men den sista expres- 

 sionen utgör summan af de två föregående; alltså blir 



1) log ab = log a -j- log 1. 

 Anm. Om det skulle anses fordra bevis, att termen ss' kan uteslutas 

 ur formeln al ^ {I -\- s -j- s -{- ss')'" , så torde följande resonnement 

 göra tillfylles. Om man i eqvationen ab = (1 -|- s -|- s' -|- ss)'" sätter 



