Geometrish framställning af analysens gnindoperaUoner. 131 



rörelser eller funktioner af tiden. En punkt kan neniligen tänkas röra sig 

 enligt en gifven lag, men med olika initialhastighet, så att den efter förloppet 

 af en viss tid sammanfaller med hvilken gifven punkt som helst i koordinat- 

 planet, och den komplexa qvantitet, som rörelsens slutpunkt representerar, kan 

 då betraktas såsom ett resultat af sjelfva rörelsen. Eörelse-lagen kan äfven 

 uttryckas genom en funktion af tiden sålunda, att funktionens skilda komplexa 

 värden beteckna alla punkter af banan, och hvarje punkt jemte den af punkten 

 representerade komplexa qvantiteten är då att betrakta såsom en tidsfunktion. 

 I begge fallen måste jemte tiden en annan obestämd qvantitet betraktas, för 

 att alla komplexa qvautiteter må kunna frambringas genom rörelsen eller tids- 

 funktionen. Denna obestämda qvantitet är t. ex. initialhastigheten, eller i all- 

 mänhet någon i tidsfunktionen ingående parameter af formen a -\- h )/— ^. — 

 Bland de oändligt många olika slag af rörelser eller tidsfunktioner, genom 

 hvilka komplexa qvantiteter kunna alstras, förtjena naturligtvis i främsta rum- 

 met de att betraktas, som närmast öfverensstämraa med aritmetikens två första 

 direkta operationer: addition och multiplikation. Genom den förra kan hvarje 

 qvantitet anses uppkomma från noll sålunda, att qvantiteten ökas med oändligt 

 små tillväxter, som under oändligt små och lika tider äro lika sinsemellan 

 både till rigtning och storlek. Då uppkommer och förändras qvantiteten ge- 

 nom en rätlinig och unifonn rörelse. Det värde v, qvantiteten efter en viss 

 tid t erhållit, är beroende såväl af tiden t som af initialhastighetens c storlek 

 och rigtning så, att v = et, der c och v äro komplexa qvantiteter. — Genom 

 aritmetikens andra direkta operation kan hvarje qvantitet anses uppkomma från 

 enheten sålunda, att en komplex qvantitet, som oändligt nära sammanfaller till 

 rigtning och storlek med detta första värde (enheten), kontinuerligt multipliceras 

 med sig sjelf, eller, hvad som är detsamma, att qvantiteten på oändligt små 

 och lika tider erhåller tillväxter, som äro till rigtning och storlek proportio- 

 nela (§ 2) mot sjelfva qvantiteten. Denna qvantitet u tankes då uppkomma 

 och förändras genom en spiralrörelse, i hvilken cirkelrörelsen ingår såsom ett 

 specielt fall; qvantitetens uttryck blir = a\ der a betecknar den rörliga 

 punktens komplexa afstånd från origo efter förloppet af tiden ett. — Loga- 

 ritmer och deras motsvarande tal äro resultater af hvar sin af dessa tvenne 

 rörelser: de tänkas begjnna med lika hastigheter och fortfara lika länge; lo- 

 garitmen föreställes uppkomma genom den rätliniga, motsvarande talet genom 

 spiralrörelsen. Digniteter och rötter tänkas deremot begge uppkomma genom 

 spiralrörelser, hvilka i allmänhet begynna med olika initialhastigheter och 

 fortsättas lika länge; exponenten är förhållandet mellan dignitetens och rotens 

 initialhastigheter. 



