132 E. Neoviüs. 



§ 15. Antagom att logaritmen för en qvantitet är gifven. Bestämmande 

 tangenten, som representerar denna logaritm, motsvaras, Scåsom vi redan förut 

 anmärkt, af en enda bestämd spiralbåge ocb emedan denna båges slutpunkt 

 föreställer logaritmens motsvarande tal, så har detta tal äfven blott ett be- 

 stämdt värde, antingen logaritmen är reel eller imaginär. Om logaritmen är 

 reel, så faller bestämmande tangenten och således äfven hela spiralen utmed 

 abscissaxeln ; logaritmens motsvarande tal är då reelt, och det inses lätt, att 

 detsamma är positivt. 



Vi antaga i stöd häraf, att en logaritmisk tabell blifvit uträknad, som 

 vid sidan af hvarje reel logaritm innehåller det motsvarande talet. Om tvärt- 

 om ett reelt positivt tal är gifvet, så finner man äfven i tabellen dess reela 

 logaritm. 



Det tal, hvars logaritm är lika med enheten, beteckna vi — som vanligt 



— med e, och kalla detsamma logaritmiska sj^stemets bas. Detta tal bevises 



/ 1 \"» 



lätt utgöra gränsen, hvartill expressionen ( 1 + ~) närmar sig, då m ökas 



i oändlighet; ty då logaritmen eller bestämmande tangenten antages lika med 



enheten, blir dess första element = — , der w = oo ; spiralens första element 



blir således äfven = — och radien till detta elements slutpunkt blir = 1 -j- 



— (§11). Eadientill hela den af m elementer bestående spiralbågens slutpunkt 

 hvilken radie representerar det sökta motsvarande talet till logaritmen, 

 som är = 1, blir tillfölje häraf lika med lim. fl -\- ^)'" eller e ;= 

 2,71828 .... 



Vi hafva nu att bestämma motsvarande talet till en gifven imaginär loga- 

 ritm; men innan vi öfvergå till denna fråga, anmärka vi först, att antingen 

 logaritmen (/t) är reel eller imaginär, kan motsvarande talet alltid betraktas 



såsom en dignitet (e ) af logaritmiska systemets bas; ty enligt föregående § 



betyder digniteter e icke annat än motsvarande talet till den logaritm, som 



erhålles, då man multiplicerar rotens (e) logaritm, som är = 1, med exponenten 

 X. Logaritmen för hvilken reel eller imaginär qvantitet som helst är således 

 identisk med den exponent, man skall gifva åt basen e, för att digniteten skall 

 blifva lika med den gifna qvantiteten. — 



§ 16. Antagom nu först, att logaritmen är en rent imaginär qvantitet 

 a ]/ — 1 ; det begäres att bestämma logaritmens motsvarande tal. Räta linien 

 {AK^ fig. 4), som representerar expressionen a |/ — i, är påtagligen vinkelrät 



