Geometrisk framställning af analysens fjrundoperationer. 133 



mot abscissaxeln , till absoluta storleken lika med koefficienten a och rigtad 

 åt ordinataxelns positiva eller negativa sida, allt efter som a föreställer ett 

 positivt eller negativt tal. Då denna linie betraktas såsom en gifven logaritm 

 eller bestämmande tangent, blir enligt § 9 spiralen en cirkelbåge {A3I), som 

 går från enhetens slutpunkt åt samma sida som bestämmande tangenten och 

 är till absoluta storleken lika dermed , d. v. s. lika med a. Slutpunkten (M) 

 till denna båge representerar motsvarande talet till den gifna logaritmen a |/^^. 

 Genom den funna punktens läge är logaritmens motsvarande tal fullkomligt 

 bestämdt; detsammas absoluta storlek {OM) är lika med cirkelbågeus radie 

 = 1 , och argumentet (XOII) är lika med a (= AK) ; sjelfva qvantiteten 

 {OM) betecknas således enligt § 2 med (1, a). — 



Anm. Nyss framställdes, att motsvarande talet till logaritmen, som är = 



a }/— 1, kan betecknas med c .Vi erhålla således 



l)e"^^=:(l,4 



Denna bekanta fonnel, der (1, a) — eller 03I^0P-\-PM — är det- 

 samma som man vanligen betecknar med cos a -j- sin a ]/— i, är således en 

 ganska enkel följd af allmänna begreppet om digniteter, och behöfver ingalunda 

 härledas från imaginära oändliga serier, såsom det vanligen sker. — 



§ 17. Antagom för det andra, att den gifna logaritmen är en imaginär 

 qvantitet af allmänna formen a-\-h}/ — i ; vi skola geometriskt bestämma det 

 motsvarande talet. Dess absoluta storlek må betecknas med q och argument 

 med K. Linien ( Oil/ fig. 5), som föreställer logaritmens motsvarande tal (q, k), 

 utgör slutradien till en spiralbåge {AM), hvars bestämmande tangent {AK) är 

 ^:.^ a -\- b y — i. Om såväl spiralbagen som tangenten tänkas bestå af ett oänd- 

 ligt antal m elementer, så blir första elementet s gemensamt för begge. Ai-it- 

 metiska differensen mellan radierna q^ och 1, som föreställas dragna till detta 

 elements begge ändpunkter, är påtagligen lika med samma elements projektion 

 (Ä) i abscissaxelns rigtning ; projektionen {k) i den vinkelräta rigtningen kan 

 åter anses sammanfalla med argumentets («) första element, hvilket är lika med 



^, emedan spiralens alla radier bilda lika stora vinklar vid origo. Vi hafva 

 således 



h = aritm. diff. (g, — 1) och k = ". 

 A andra sidan utgöra Ji och k — såsom projektioner till bestämmande 

 tangentens m'^ del, de samma parterna af hela tangentens lika belägna pro- 

 jektioner, {AB = a, BK = h). Vi hafva således 



