Geometrisk framställning af analysens grundoperationer. 135 



samma sida som bestämmande tangenten, hvars projektion h i ordinataxelns 

 rigtning således är till tecknet lika med a. 



Formeln 2) kan föröfrigt äfven härledas analytiskt; man liar nemligen: 



a + by-i a by--i 

 e =. e . e 



enligt formeln 3) i § 13. Men e^~'={l, h) enl. form. 1) i § 16, och e" = (e", 0); 

 alltså blir 



<.+W^. = (,», 0) (1, h) = {e\ 1) (§ 2). 



§ 18. Vi öfvergå nu till den omvända frågan, d. ä. sättet att bestämma 

 logaritmen för en gifveu qvantitet. — Följande anmärkningar leda till resultatet. 



Af formlerna q =z e och a z= h följer, att räta linien, som represente- 

 rar motsvarande talet 031 = (p, a) till en logaritm , AK = a -\~ hy — i 

 (fig. 5), beror till absoluta storleken q endast af logaritmens projektion a på 

 abscissaxeln , men till rigtningen blott af projektionen h på ordinataxeln. — 

 Om således den förra af dessa projektioner, nemligen den på abscissaxelns 

 rigtning förändras, men projektionen i ordinataxelns rigtning är konstant, så 

 förändras räta linien (OM), som representerar motsvarande talet blott till ab- 

 soluta storleken, men bibehåller samma rigtning. — Om deremot logaritmens 

 projektion a på abscissaxeln är konstant, men projektionen b på ordinataxeln 

 varierar, så förblir linien, som föreställer logaritmens motsvarande tal, oförän- 

 drad till absoluta storleken och förändras blott till rigtningen. Denna linies 

 slutpunkt (M) beskrifver således i det sednare fallet antingen en del (MN) 

 af en cirkelperiferi, eller en cirkelbåge, som innehåller en eller fiere periferier, 

 alltefter som qvantiteten b undergår en mindre eller större förändring. Dervid 

 bör observeras , att för livarje gång projektionen b under sin förändring ökats 

 eller minskats med ett stycke, som till absoluta storleken är lika med en hel 

 periferi 2ä af argumenternas cirkel, återtager linien, som representerar loga- 

 ritmens motsvarande tal, sin förra rigtning efter att hafva beskrifvit ett helt omlopp. 

 Om således logaritmens (AK) projektion {a = AB) på abscissaxeln (fig. 6) förblir 

 oförändrad, men projektionen i den vinkelräta rigtningen (b = BK) förändras så- 

 lunda, att den efterhand blir lika med hvarje term i en aritmetisk serie, hvars diffe- 

 rens är 2ny — i, {BK, BK\ BK^ ,...), så bibehåller linien {031)., som 

 representerar logaritmens motsvarande tal, samma rigtning och storlek, och 

 denna qvantitet förblir således oförändrad i begge afseenden. Härigenom åter- 

 komma vi till den redan förut framställda satsen, att hvarje gifven qvantitet 

 {q, a) har oändligt många naturliga logaritmer. Dessa logaritmer konstrueras 



