Geometrisk framställnhu/ af analyscps (inmdoxierattoner. 137 



Om man antager, att den gifna qvantitctens {q, <x) absoluta storlek ^ är := 1, 

 så blir i alla tre njss betraktade händelserna logaritmens projektion på ab- 

 scissaxeln lika med noll, emedan I9 = 11 n= o. Logaritmernas ort går då 

 genom slutpunkten af enheten och logaritmerna, livilka tänkas utgå från samma 

 ])unkt och slutas i hvar sin punkt af deras gemensamma ort, blifva då vinkel- 

 räta mot abscissaxeln. — Antages deromot 9>1 eller {•«< 1, så faller loga- 

 ritmernas ort enligt formeln « = lo i förra fallet på positiva, i sednare på 

 negativa sidan om enhetens slutpunkt. Logaritmerna komma således att repre- 

 senteras af räta linier, som luta i förra händelsen åt positiva, i sednare åt 

 negativa sidan af abscissaxeln. — 



§ 19. Efter dessa geometriska betraktelser framställes lätt allmänna for- 

 meln för en gifven qvantitets (9, «) alla logaritmer. Emedan logaritmernas 

 gemensamma projektion {ÄB) på abscissaxeln (Fig. G) är a = I9, och pro- 

 jektionerna i ordinataxelns rigtning äro lika med termerna i serien «y — 1, 

 (c, 4- 2ff)}/— 1 , (« + 4ff)}/ — T o. s. v., så blir enligt additionens allmänna 

 begrepp 



1) log {q, a) = lo + (« + 2n:r) >/^:i, 

 der n föreställer ett positivt eller negativt helt tal, hvilket som helst. — 



Eliuru alla de logaritmer {AK^ AK', . . ), som uttryckas genom formeln 1), 

 verkligen äro logaritmer för samma qvantitet (q, «) = Oilf, så beteckna de 

 likväl bestämmande tangenter till skilda spiraler {A3f, ANLM, AN^L^M , . . . ). 

 Dessa spiraler sluta väl alla i samma punkt (il/), föreställande qvantiteten 

 {q, a), men de hafva redan från enhetens slutpunkt {A) en olika rigtning, 

 som angifves af de olika bestämmande tangenterna. Spiralbågarne beskrifva 

 dessutom ett olika antal hvarf omkring origo (O), innan de framkomma till 

 den gemensamma slutpunkten {M); antalet hvarf är nemligen för hvarje spiral 

 (till ex. ANLM) lika med antalet i)eriferier 2^, som innehållas i bestämmande 

 tangentens {AK') projektion på ordinataxeln ; spiralen utgår alltid från enhetens 

 slutpunkt {A) och är derifi-ån rigtad åt samma sida som bestämmande tangenten. 

 Om man nu lemnar det obestämdt, genom hvilken af dessa spiralrörelser en 

 gifven qvantitet {q, a) anses hafva uppkommit, så har qvantiteten oändligt 

 många logaritmer, livilka fullständigt uttryckas genom formeln 1). — Om 

 qvantiteten deremot tankes utgöra resultatet af en bestämd liland dessa spiral- 

 rörelser (t. ex. AM) och således betraktas såsom slutpunkt till en enda be- 

 stämd spiralbåge, så har qvantiteten blott en logaritm, nemligen bestämmande 

 tangenten {AK) till denna båge. — Det af oss nyss använda allmäiuia tecknet 

 för en qvantitet: {q, «), synes väl lämpa sig att icke blott beteckna läget af 



18 



