Gemnetrisk fratnställning af analysens grundoperationer. 145 



samma, som en rot, livars index är ett helt tal. Att antalet af rotens A-ärden 

 är lika med antalet enheter, som innehållas i dess index, och huru dessa 

 värden hestämmas genom upplösning af en binomialeqvation, är nogsamt be- 

 kant af anah'sen. Vi hafva här blott önskat ådagalägga, att dessa resultater 

 lika naturligt framgtå ur vårt sätt att betrakta digniteter och rötter. 



Likasom i fråga om digniteter med hela exponenter anmärka vi här, att 

 till radierna {ON, ON', ON"), som föreställa värdena af en dignitet med 

 bruten exponent, icke höra alla de argumenter, som lemna dessa radier oför- 

 ändrade till rigtningen, utan endast vissa. Dessa dignitetens verkliga argu- 

 menter [Ä) erhållas genom att multiplicera allmänna expressionen för rotens 

 argument « -|~ 2jr»i, som helre må betecknas 2jr (f< -j- m), med exponenten 



^ , hvaraf A = 2:t (jt -j- m) —. Men man vore nödsakad att anställa många 

 fruktlösa försök, om man ur allmänna expressionen 2:r (jt -|- m) -^ ville här- 

 leda argumentet A för en viss till ordningsnummern gifven radie, som skall 

 föreställa digniteten. Antagom, att radien, hvars argument skall bestämmas, 

 är den r'« i ordningen, räknadt åt argumenternas positiva sida från och med den 

 radie (ON, Fig. 10), hvars argument erhålles, då man i expressionen 

 2ff (h -(- vi) ^ sätter m = o. Vi vilja tillse, huru man skall gå till väga för 

 att finna argumentet A till denna r'« radie (t. ex. 3« radien ON"). Första ra- 

 diens argument (An) är, enligt hvad nj-ss antogs, lika med 2;r (* ^' . Om man 



sätter — = v, så blir expressionen för första radiens argument 2:Tr och all- 

 männa expressionen för A blir 



A = 2. (r + f). 

 Men å andra sidan innehåller argumentet A till r'« radien påtagligen l:a 

 radiens argument 2-ti' jemte (r — 1)'« multipeln af vinkelafståndet — mellan 

 tvenne närliggande radier, och utom summan (Annn") af dessa tvenne bågar 

 {An = 2jtv och nnn" = '^^''~ '^ j ingår i r*« radiens argument ännu ett visst 

 helt antal n af argumentcirkelns (AnA) periferier, 2jr, hvaraf följer, att 



A = 2nv + '^^^ir^ + 2mi = 2jr(r + ^ + «)• 

 Jemföres detta värde för A med det nyss förut funna, så erhålles eqvationen 



2}m — qn = r — 1. 

 Emedan nu värdena för m och n i denna eqvation skola blifva hela tal, 

 så använder man till deras bestämmande den vanliga metoden med kontinuerliga 

 bråk, och man finner sålunda lätt 



19 



