Geometrisk framställning af analysens grundoperationer. 149 



33461; således blir qvantiteten x = (ö« — 'O ? = — ' î = — 8365 — \, 

 hvaraf h = — 8365, «5= — 1, och värdet för d blir en positiv qvautitet, 

 emedan 13:e konvergenten är af udda ordning. Fnån eqvationen: pm — qn-\-h 

 = o eller 47321 m — 33461 n = 8365, fäs m = 3465, n = 4900. 



? 



För värdet 3465 af m blir ""- — (i < 1 och således S < y^^ < 10" 



Ko / 4900*^499937 ' 



hvilket begärdes. I sjelfva verket blir (1, 3465. 2.t) ' = fl, — " ^o7 



som till rigtningen icke förändras, om man utesluter hela niultipeln 4900. 2:t 



ur argumentet, då man erhåller 1 ^ ^ (1, 4- 2--r) = |/ — l på 8", 2 när. 

 Af det framställda följer, att om man med origo (O, fig. 11) såsom me- 

 delpunkt uppritar en cirkel {DNN'), hvars radie r = q" , d. v. s. lika med 

 dignitetens absoluta storlek, och på periferien af denna cirkel antager tvenne 

 punkter, [B, B'), så nära hvarandra, man någonsin önskar, så finnes mellan 

 dem ett oändligt antal punkter, hvilka exakt representera digniteten. De dig- 

 niteten representerande punkterna (JV, N', . . . ) äro således spridda på oändligt 

 små afståud öfver hela periferien af cirkeln {DNN'). De bilda likväl icke nå- 

 gon liontmuerlicj följd; ty om man på periferien afsätter en båge, hvars mått 

 för radien ett öv = 2rföf/, från periferiens genomskärningspunkt (D) med ab- 

 scissaxeln och från slutpunkten (P) af denna båge sätter åt ena eller andra 

 sidan en båge PQ, hvars mått är = 2,tös, der s är antingen ett bråk eller 

 ett irrationelt tal, hvilket som helst, så kan den sålunda bestämda punkten Q 

 icke exakt sammanfalla med någon enda af de punkter, som föreställa digni- 

 teten, emedan af likheten mellan dignitetens argument 2jr(5 (jt -f- m) och hk- 

 gen DQ = DP ± PQ eller 2.tö (;« -f- m) = 2^-0 (ft ± s), skulle följa att 

 s, tvärtemot antagandet, vore lika med ett helt tal m. Det inses äfven lätt,, 

 att dignitetens värden aldrig kunna återkomma, under det att antalet m af 

 periferier ökas i rotens argument ; ty om det vore möjligt, så skulle skilnaden 

 mellan tvenne af dignitetens argumenter 2.t6 (j« -j- w) och 2jr6 (ft -[" "'i) blifva 



lika med ett helt antal h af periferier eller 6 («j — m^) = h, hvaraf skulle 



h 

 följa, att irrationela qvantiteten 6 blefve exakt lika med rationela bråket ^ _ „j^, 



hvilket är orimligt. 



'&'■ 



Af det sagda följer, ätten dignitet med irrationel exponent (q, 2jr [ji -j- m])» 

 representeras exakt genom en oändlig mängd punkter, som äro skilda från 

 hvarandra genom oändUgt små afståud och spridda öfver hela periferien af en 

 cirkel, hvars radie = q<^; dessa punkter utgöra slutpunkter till livar sin spi- 

 ral, som tankes alstra digniteten; de äro således enkla eller föreställa hvar och. 

 en blott ett fullständigt bestämdt värde af digniteten. 



