150 E. Neovius. 



§ 25. Aiitagom slutligen att dignitetens exponent är en imaginär qvan- 

 .titet, {Ox,fig. 12), livilken må betecknas antingen med (ö, ^) eller a-\-h]/ —\. 

 När alla logaritmer till roten OM = (q, 2« [;«- -|- m]), som antages vara ofull- 

 ständigt bestämd, multipliceras med dignitetens exponent, blifva bestämmande 

 tangenterna {ÄK, AK', ÄKy ,....); som föreställa rotens logaritmer, alla 

 vända med en och samma vinkel ^ {XOx) ur sina förra lägen och förändras 

 tillika i samma proportion, nemligen i proportion af 1 : ö (= O A: Ox). Den 

 figur {AK'KK{), som rotens bestämmande tangenter bilda med den räta Unie 

 {BT), som begränsar dem, blir således genom multiplikationen med dignitetens 

 exponent oförändrad till formen, men förändras deremot till läge och storlek 

 sålunda, att den vändes med vinkeln /3 omkring enhetens slutpunkt {A), och 

 tillika förstoras eller förminskas den i samma proportion, som ö är större 

 eller mindre än enheten. Dignitetens bestämmande tangenter komma således 

 likasom rotens att sluta i en rät Unie (B' T); men då denna linie, hvad roten 

 beträffar, är vinkelrät mot abscissaxeln, så afviker orten för dignitetens loga- 

 ritmer {AL, AL', ALi , . . . ) från det vinkelräta läget med vinkeln ß (= TET), 

 som enligt antagandet icke kan utgöra någon hel multipel af ä, emedan af 

 eqvationen XOx = nn skulle följa, att dignitetens exponent, tvärtemot anta- 

 gandet, vore en reel qvantitet. Orten {B' T') för dignitetens logaritmer kan så- 

 ledes icke blifva parallel eller sammanfalla med orten (BT) för rotens logarit- 

 mer, utan den lutar mot abscissaxeln under en vinkel, som är ^ 90*'. Sjelfva 

 punkterne {L, L' , L^, . . .), som föreställa dignitetens logaritmer, äro så belägne 

 på orten för dessa logaritmer, att afståndet [LL'} mellan tvenne närliggande 

 punkter är konstant och lika med 2n6; deras projektioner, såväl på absciss- 

 axeln (P', P, Pi, . . .), som iden deremot vinkelräta rigtningen, blifva således 

 eqvidistanta i hvardera rigtningen skildt och de representera således termer i 

 hvar sin af tvenne aritmetiska serier. Afståuden från enhetens slutpunkt till 

 projektionerna på abscissaxeln föreställa aritmetiska eller reela logaritmerna för 

 dignitetens olika värden, och emedan dessa logaritmer bilda en aritmetisk se- 

 rie, så utgöra de motsvarande talen eller dignitetens absoluta värden termer 

 i en geometrisk progression. Emedan åter projektionerna i den vinkelräta 

 rigtningen äro eqvidistanta, så komma radierna {ON^, ON, ON',...), som 

 representera dignitetens värden, att följa efter hvarandra med ett konstant 

 vinkelafstånd. Dessa radier utgöra således både till storlek och rigtning ter- 

 mer i en geometrisk progression och sluta tillfölje häraf i en logaritmisk spiral 

 NSNN^), som blir den gemensamma orten för dignitetens alla värden och 

 således begränsar alla de enskilta spiralbågar {AN, ASS'Ni o. s. v.), livilka 

 motsvara bestämmande tangenterna {AL, AL^^ ,-••)• — ^^^ ^** */" ^^ radier 



