Geometrisîc framställning af analysens grundoperationer. 151 



(ON), som föreställa dignitetens värden, sammanfaller med reela positiva en- 

 heten (OÄ), så kan en annan, Jivilken som helst, af dessa radier (t. ex. ON' 

 eller ONy) enligt § 7 betraktas såsom rot till alla de öfriga, hvilka i an- 

 seende till denna rot hlifva digniteter med reela och hela exponenter. Om der- 

 eniot nämnda vilkor icke är uppfijldt, så hlifva spiralens radier, såsom ut- 

 görande termer i en geometrisk progression, likväl proportionela emot successiva 

 digniteterna med hela exponenter af en viss rot. Denna rot som utgör den 

 geometriska progressionens ration, bestjimmes lättast jemte en af progressionens ■ 

 termer genom följande kalkyl: 

 Digniteten y ^^[q, 2:t (ii ~\- m)]"' ~' är = 



[Q, 2:T(t) (1, 2 jr;«) 



Sättas faktorerna, den förra lika med f den sednare = z, så blir 

 log /"= (a -j- i j/^^) (1? -f- 2a-f< ^/^^) = a\Q — 2:thii -[- (ilp -)- ^na^i) )/^^, . 



livaraf /" = (e " ^ ^ ^ ,Iåq -\- 2:ra^i) och på samma sätt fås z^ (e " "*, 2nam) = 



{e " , 2:ra)'". Man erhåller således: 



1) y = [q, 2jr(f, + m)T + ' ^^^ = ff^ der 



g = (e ' , 2na) och 



Då m tankes efter hand blifva lika med alla hela tal från — co till -)- o^, 

 frambringar expressionen fg"\ i hvilken /" och g äro oberoende af m, de suc- 

 cessiva termerna i en geometrisk infinit progression, hvars ration är g 



{= 0^ = 0^-^ =^ . . . , f\.Q. 12j, och en af termerna, som lämpligen kan be- 

 traktas såsom den första och hvilken svarar mot m = o, blir lika med f 

 (;= ON). Serien, som dignitetens värden [ON^, ON, ON' . . .) bilda, är der- 

 igenom bestämd. 



'ö 



§ 26. Orten (R T) för dignitetens logaritmer kan antaga ett enskilt 

 läge, som förtjenar framhållas. Om nemligen exponentens (Ox) argument 



(fig. 13) är = + Y och exponenten således är en rent imaginär qvantitet af 

 formen + ly — i, så kommer orten (BT) för rotens logaritmer, hvilken linie 

 alltid är vinkelrät mot abscissaxeln (OX), att vändas genom multiplikation med 

 exponenten +.by — i åt vinklarnes positiva eller negativa sida med en vinkel 

 af 90", hvarigenom orten (R'T') för dignitetens logaritmer blir parallel med 

 abscissaxeln. Den sammanfaller dermcd, om rotens absoluta storlek är = 1 ; 

 ty då är reela logaritmen för roten lika med noll och orten för rotens löga- 



