Geometrisk framställning af analysens grundoperationer. 153 



punkterna, så föreställa dessa radier dignitetens alla värden, då f = (9", 2;rrtft) 

 betraktas såsom enhet. Man erhåller antingen ett enda värde, ett finit antal q 



eller oändligt många värden för digniteten, alltefter som exponenten ^ är ett 

 helt; brutet eller irrationelt tal. Det inses lätt, att denna konstruktion öfver- 

 ensstämmer med den i § 23 framställda.; 



§ 28. Då vi nu öfvergå till allmänna diskussionen af fonneln g"" = 

 '" , 23ta , som i öfverensstämmelse med föregående § uttrycker dignite- 

 tens värden i anseende till f såsom enhet (exponenten a-\- b Y —1 och roten 

 (q, «) må vara hvilka qvantiteter som helst), hafva vi skäl att åtskilja samma 

 tre fall som nyss betraktades. Punkterna, som representera dignitetens vär- 

 den, kunna nemligen vara på tre väsendtligen olika sätt fördelade eller spridda 

 längs spiralen g'". 



1:0. Om första termen a i exponenten a -\- hy — i är ett helt tal, så 

 äro alla punkter, som representera digniteten, belägna på samma radie, nem- 

 ligen på abscissaxeln och åt dess positiva sida, emedan dignitetens argumenter, 

 hvilka uttryckas genom formeln 2itam, då blifva lika med ett visst helt antal 

 periferier af argumenternas cirkel. Alltefter som a är lika med + 1, i 2, 

 + 3 o. s. v., sammanfalla punkterna, som representera digniteten, med hvarje, 

 hvar annan, livar tredje o. s. v. af de punkter, der abscissaxelns positiva sida 

 skares af spiralen g'" ; hvarfvens ordningsnummer skall dervid räknas från en- 

 hetens slutpunkt åt den sida, som produkten am genom sitt tecken angifver. 



Om man i denna första händelse (då a är ett helt tal) antager, att dig- 

 nitetens exponent a -\- by — i är en reel qvantitet, d. v. s. att & ^ o, så 



förvandlas spiralen g'" = (e "" , 2jraj till en cirkelperiferie (1, 2jcam), 



hvars radie är = 1, och punkterna, som representera digniteten, förenas i en 

 enda punkt, nemligen enhetens slutpunkt, som representerar dignitetens alla 

 Tärden och således bör anses vara oändligt mångfaldig. 



2:0. Om i exponenten termen a är lika med ett irreduktibelt bråk -^, så 

 falla punkterna, som representera digniteten, på ett antal q till rigtningen olika 

 radier, hvilka dela argumenternas periferi i lika stora delar, och en af dessa 

 radier sammanfaller med abscissaxelns positiva sida. Radiernas genomskärnings- 

 punkter med vissa hvarf af spiralen g'" representera dignitetens olika värden. 

 För att närmare bestämma dessa hvarf sätta vi i formeln 1) i § 23, som på- 

 tagligen äfven här har tillämpning, v = o. Formeln 



20 



