156 E. Neovius. 



[{q, a), a -{- iy — l] betecknar en vanlig komplex qvantitet under en hittills 

 af oss icke begagnad form. Dess egentliga betj-delse kunde lätt framställas i 

 stöd af qvantitetens nyss antydda uppkomst; men det torde likväl vara lämpligare 

 att definiera den ifrågavarande expressionen på ett annat ännu enklare och di- 

 rektare sätt. 



Emedan, för reela värden af x och y, log (a-, y) =^ Ix -{- yy — l eller 



(x, y) ■= e * ^ ^ = a; e^ "" \ så sätta vi nu såsom en definition : 



[{q, «), a + J]/_i] = (9, «) e 

 hvaraf åter erhålles 



[{q, a), a -\- i 1/^=1) = e~ (q, k) e" ~'= e {q, a) {I, a) 



= e (^, « -|- ff) = (c e , « -|- a), d. v. s. 

 [{q, «), a -f by^^) = [Qe~\ « + fl). 

 I denna formel innehålles definitionen af expressionen [{q, a), « + &]/ — 1 ]• 

 Af denna definition slutes lätt, att de förut bevista formlerna för opera- 

 tioner med qvantiteter af formen (x, y), der modulus x och argumentet y äro 

 reela qvantiteter, äfven gälla, om dessa qvantiteter antagas vara imaginära. 

 Dessa formler äro följande: 



1) log(a;, y) = \x -f yV^^. 



Ty sättes x := {q, a), y = a -\- by — i, så blir enligt nyss fastställda de- 

 finition 



log[(9, «), « + by^rj] = \og(^Qe~\ « + aj = 



\q — b -\- {a -\- a) y~\ = \q -^ ay— 1 -j- ay^^ — b 

 = log (c, r) -|- (« -|- by — i)y — \, hvarigenom formeln 1) är bevist i sin 

 största allmänhet, med vilkor att \x ersattes genom log {q, a). 



2) {x, y) {x, y) = (xx, y + y'). 



Ty i hvarje händelse är [x^ y) -=1 xi ~ \ (rr', y) ■=^ x i ~ \ Genom 



dessa eqvationers multiplikation fås (re, y) {x\ y) = xxe 

 = {xx\ y + y). 



3) {oc, yf = (/, yö); 

 Ty (X, yf = (x e' ^^J = x% '' ^'-~' = ( /, y6 

 På samma sätt bevises, att 



4) {x, y) : {x, y) = {^. , y - y'^ och 



