Geometrisk framställning af analysens (jnmdoperationer. 157 



5) y(x, y) = V]/ar, ~). 



Vi sluta härmed läran om digniteter och rötter och öfvergå till de tri- 

 gonometriska funktionerna. 



ö 



§ 31. Till en början definiera vi de trigonometriska funktionerna i öfver- 

 ensstämmelse med hvad som är allmänt antaget i elementära trigouometrien. 

 Enligt dessa definitioner kunna de i det föregående begagnade tvenne uttrycken 

 för imaginära qvantiteter a -)- 6-j/— ^ och (9, «) lätt jemföras. Öfvergången 

 från det ena till det andra af dessa uttryck sker såsom bekant medelst 

 eqvationerna: 



a = Q cos a, h r^ Q sin k; 



Q = Ya^- + J2, tga = -„. 



§ 32. Enligt § 16 är (fig. 4) OM = (1, x) = e°^^~\ då bågen ^ilf 

 sättes = x; men å andra sidan är enligt additionens allmänna begrepp 

 OP -\- FM = OM eller cos a; -j- sin^cy' — 1 = (1, x), och på samma sätt 

 fås cos.r — sinxy — 1 = (1, — x); tillfölje häraf blir cos:r + sina;j/ — 1 = 



e~ ^ ~\ Häraf följer åter, att 



g g 



1) sin X = — och 



2) cos X 



2^ 



»K- 1 I — '^V- 

 e -f- e 



2 



Dessa allmänt kända formler kunna således härledas på ett ganska enkelt sätt 

 och utan att använda oändliga imaginära serier, såsom det vanligen sker. 



§ 33. Formlerna 1) och 2) i föregående § hafva der blifvit bevista för 

 reela värden af qvantiteten x. Om deremot x är en imaginär qvantitet, så 

 anses formlerna vanligen gälla såsom definitioner af sin och cos i deras all- 

 männa mening. Vi skola söka att från dessa allmänt antagna definitioner 

 komma till andra, som äro enklare och närmare öfverenstämmande med den 

 elementära trigonometriens betraktelsesätt. 



Om man antager bågen x ^ a -\- by — 1 och geometriskt representerar 

 X, nemligen genom en från origo dragen rät linie (OH, Fig. 14) af absoluta 

 storleken g = ya"^ + b^ och hvars lutningsvinkel mot abscissaxelns positiva 



sida är bestämd enligt formeln tg a ^=. -^ ; om vidare denna linie flyttas från. 



