Ge&metrish framställning af analysens grundoperationer. 159 



sentligen höra till figuren. Likastå afviker den linie {ÄK), som föreställer bå- 

 gen X ifrån bestämmande tangenten x y — i (= ÄK') och är för figurens 

 konstruktion så tillvida onödig, som denna tangent redan för sig bestämmer 

 figuren till alla dess delar. Dessa anmärkningar träffa egentligen icke sjelfva 

 konstruktionen, utan de formler, från hvilka den är härledd ; ty härledningen 

 är så enkel och omedelbar, att densamma svårligen kan på något sätt förenklas 

 eller förändras. Uti sjelfva formlerna 1) och 2) eller i de elementäi-a definitioner 

 af sin och cos, som ligga till grund för dessa formler, måste således vissa be- 

 stämningar ingå, som icke fullt öfverensstämma med principerna för komplexa 

 qvantiteters geometriska konstruktion. Att så verkligen förhåller sig, är lätt 

 att uppvisa. Uti den elementära trigonometrien betraktas nemligen cosinus 

 och sinus begge såsom reela qvantiteter och likväl definieras de såsom tvenne 

 mot hvarandra vinkelräta linier. Detta betraktelsesätt öfverensstämmer väl med 

 analytiska geometrien, der såväl abscissor som ordinator anses vara reela 

 qvantiteter; men i läran om komplexa qvantiteter antages deremot, att hvarje 

 rät linie skall betecknas genom en expression, som angifver både liniens rigt- 

 ning och storlek. Om vi således antaga att cos x för en reel båge x är en 

 reel qvantitet, så borde ju halfva den deremot vinkelräta kordan till dubbla 

 bågen eller sinus anses vara en rent imaginär qvantitet (af formen by — i). 

 Om man i öfverensstämmelse med läran om komplexa qvantiteter med S be- 

 tecknar såväl storleken som rigtningen af den räta linie, som man i elemen- 



tära trigonometrien kallat sin x, så blir S = sin x ]/— i eller sin x = y^ 

 Formeln 1) förvandlas derigenom till 



S= '- ^^ 



2 



Formeln 2) blir deremot oförändrad. 



Cirkelbågen x (t. ex. ÄM, fig. 4), som i hvarje punkt har en olika 

 rigtning, kan icke direkt behandlas enligt läran om komplexa qvantiteter, men 

 beror af bågens bestämmande tangent [ÄK), som är en till rigtning och stor- 

 lek gifven rät linie , hvilken således i nämnda lära kan och bör betraktas i 

 stället för bågen. I det nu betraktade enkla fallet, då bågen x hör till en 

 cirkel, är bestämmande tangenten, som må betecknas med a, lika till absoluta 

 storleken med bågen och vinkelrät till rigtningen mot abscissaxeln. Tillfölje 

 häraf blir a = x y — i. Om vi nu betrakta {OP =) cos a; och {PM =) S 

 såsom funktioner af a {= AK) och tillfölje deraf beteckna dem med C{a) och 

 S (a), så erhålles enligt föregående formler 



