Geometrisk framställning af analysens grundoperationer. 161 



8{x) = ^~^^ sin^, C{x) = cos^^j, 



sm X = — y—^ — , cos a; = C (a; ]/ — 1 ). 



Funktionerna S och C hafva af några författare redan förut blifvit betraktade 

 och kallade hyperlolisk sinus och cosinus. Den utveckling vi här fullföljt 

 skulle snarare leda till benämningen spiral- sinus och cosinus. Den nu föl- 

 jande läran om dessa funktioner är fullkomligt allmän, d. v. s. att bestäm- 

 mande tangenterna till dessa spiralfunktioner öfverallt tänkas vara komplexa 

 qvantiteter. 



§ 35. Af definitionerna i § 33 följer omedelbart, att om rigtningen af 

 bestämmande tangenten -f- a (= ÄK') förändras till den rakt motsatta {ÄK^ ), 

 så förändras halfva kordan S [a] = VM' på samma sätt, men afståndet C («) 

 = OP från origo till kordans midtelpunkt blir oförändradt, d. v. s. : 



5) C{ — a) = C*(ffl); men 



6) S{— a) = — 8 {a). 



Om bestämmande tangenten a är vinkelrät mot abscissaxeln och till ab- 

 soluta storleken lika med it eller i allmänhet = en udda multipel af :t, så 

 förvandlas dubbla spiralbågen till en cirkelbåge, hvars begge ändpunkter sam- 

 manfalla i den punkt, som representerar negativa reela enheten. Häraf föl- 

 jer, att 



7) C (2m -1- 1 Ä |/'^n[) = — 1 och 



8) S {in + 1 Ä |/ — i) = o, 

 der n föreställer ett positivt eller negativt helt tal. 



Lika lätt bevises, att 



9) C{2n7t y^^\) = + 1, 

 10) S{2na ]/^i) = o, 



11) C{2fr+~\ Jt f^^) == o, 



12) 6'(2h"+1 Jt |/^^) = + j/^l, 



13) Ci^V^^l n f—\) = o, 



U) Ä(2^m « |/^^) = - /-1- 

 Emedan C {a) och 8 {a) följa efter hvarandra i en bruten linie {OFM', 



fig. 14), hvars ändpunkter förenas af räta linien {031'), som föreställer c , 

 så blir enligt additionens allmänna definition 



15) C (a) -{- 8{a) = e^". 



21 



