162 E. Neovius. 



På samma sätt följer af allmäiina begreppet om subtraktioneiij att OMi = 

 OP — PM' eller 



16) C (a) — S (a) z:= e~ ". 

 Genom dessa eqvatioiiers addition och subtraktion erhålles 



dl — a 



17) C [a) =^-JL^ — och 



a — a 



18) 8 («) = ^-=^ 



Det är dessa formler vi till en början betraktade såsom definitioner af funk- 

 tionerna C [a) och 8{a)\ de hafva nu blifvit bevista i stöd af den i § 33 

 antagna geometriska definitionen af dessa funktioner. 



Genom multiplikation af eqvationerna 15) och 16) fås 



C" {a) — S~ [a] = 1. 



svarande mot formeln corx -\-.û\\~'x = 1 i trigonometrien. 



Om man i formeln 15) sätter a -f- i i stället för a och iakttager, att 

 e" =6". e, som åter enligt formeln 15) förvandlas till 



{C{a) + S{a)l [Cih) + S{h)l 

 så erhålles efter verkställd multiplikation 

 C{a + h) + S{a + h) = G{a)G{h) + 8{a)S{h) + 8{a)C{h) + C{a)S[h). 



På samma sätt fås från formeln 16) eller genom tecknens förändring för a och 

 h i föregående formel 



C{a + h) — 8(a -{- h) = C(a) (7(&) + 8ia)8ih) — 8{a)C{h) — C{a)Sih). 

 Genom addition och subtraktion af dessa formler erhålles 



19) C(a + i) = Cia)C{h) + S{a)8(h) och 



20) S{a + ^) = Sia)C{h) + C{ä}8{b). 

 Förändras tecknet för h, så erhålles häraf 



21) (7(a— &) = C{a)Cih) — S{a)8{l) och 



22) 8{a—h) = 8{a)C{h) — C(a)8[h). 



Om man adderar och subtraherar formlerna 19) och 21) och sätter a-\-b 

 = j), « — i == g, så erhålles 



Cip) + 0(^1) = 2C(^') 6'f-^) och 



