Geometrisk framställning af analysens grundoperationer. 165 



Logaritmen har enligt § 19 oändligt många värden. Om ett värde för 

 log (v/ -j- y,ß'-C\) betecknas med x\ så blifva de öfriga = x -\~ 2an }/^^, 

 der n är ett helt tal, och således blir 



Dtg (8 := y) = x -{- 2ji.n j/^TT. 

 Enligt den i föregående § härledda formeln S {x') = S {x' -\- 2mi y — i) 

 följei- likaså, att bestämmande tangenten, som motsvarar en gifven funktion S, är 

 mångtydig i oändlighet. Denna mångtydighet fördubblas derigenom, att y^J^ 

 har tvenne tecken, hvarigenom x' får tvenne värden, från hvilka man kan utgå, 

 då man bildar serien, hvars allmänna term är x' -\- 2nn y — i . Till en när- 

 mare bestämning af funktionen, som vi nu betrakta, hör således, att man be- 

 stämmer såväl tecknet för y iß -|- l som värdet för n. 



Likaså erhålles från eqvationen C^ [x) — S^ (rr) = 1 S (x) = yc^frj — 1 

 eller, om man sätter C (x) ^=y, S {x) = yy^— 1. Men C (x) -\- S (x) = e"", 

 alltså blir e-* = «/ -f" iV— 1) hvaraf 



X = 'Dtg{C = y) = \ {y + y^^^l). 



Äfven denna funktion är mångtydig i dubbelt afseendc och bestämmes när- 

 mare på analogt sätt med den föregående. 



§ 37. Det skulle nu följa att efter sinus och cosinus i ordning betrakta 

 de öfriga trigonometriska funktionerna. Dessa funktioner definieras vanligen i 



deras allmänna mening genom formler sådana som igx = ^;;^^, secrr =~^;^ 



o. s. v. Om vi i öfverensstämmelse härmed skulle antaga T(x) ■= çr^ , så 

 kunde väl den sålunda definierade funktionen T{x) geometriskt konstrueras 

 genom att från enhetens slutpunkt (^, fig. 14) draga en rät linie (^T), som, 

 både hvad storlek och rigtning beträffar, hade till enheten {OÅ) samma för- 

 hållande som S{x) (= FM') till C(x) (= OP). Men funktionen T [x] skulle 

 sålunda komma att representeras genom en rät linie {AT) , hvilken svårligen 

 kunde kallas tangent, emedan densamma endast i ett specielt fall verkligen 

 tangerade spiralen {M^AM') ^ nemligen då denna kroklinie förvandlas till en 

 cirkelbåge. Ville man åter förallmänliga tangentens definition sålunda, att 

 funktionen T{x) komme att representeras genom en verklig tangent, så skulle 

 den sålunda fastställda definitionen icke öfverensstämma med den i analysen all- 

 mänt antagna, eller med andra ord, denna sednare definition är af så vilkorlig 

 beskaffenhet, att den svårligen kan upptagas till närmare betraktande uti en 

 framställning, som hufvudsakligen afser begreppens med nödvändighet ur dem 



