Om binär a formers covarianter {resp. invarianter). 

 Vi erhålla således formeln 



171 



(I) r;"s; 



2 



C) O 



m + n — v + 1 



{X>JÎ 



, \V m — v n ~ v 



I det följande begagna vi oss af tvenne andra formler. Den förre erhålles, 

 då vi i (I) sätta i stället för m och n resp. m — h och n — k samt multi- 

 plicera resultatet med symboliska faktorn {rsf. Man erhåller således 



nii — k\ in — k\ 

 /TT\ / ^k m — k n — k _ \ v I \ v 1 



(II) [rs) r, s,j 





k + v m — k — v n—k- 



Sr 



,n—k—v 



Den andra formeln erhålles, då hvartdera membrum i (II) polariseras ? gånger 

 i afseende på ^, då x betraktas som variabel. Venstra membrum blir tydligen 



lika med {rsf r"'~''~' r^ s,"'^. Polaren af {.rij)^ är lika med noll. Polaren af 



n-k-v är tydligen lika med 



/ ^k + v m — k — v n — k — v 



[rs) >\ s^ 



der 



Ä. 



A - 



L 



, sfc + i' m~ k — v n — k — v 



{rs) r, s. 



, n — k — v + l. 



(m — k — v) (m — k — v—\) . . . . (m — k — v — I + 1) 



(m — k) {m — k—i) .... (m. — k — l+l) 



Produkten A. ("';^) blir tydligen lika med f ~*"'). Således erhålla vi formeln 



(in) {rs)\ 



■ k — l I n — k 



m — k — I 

 >; V v 



n — k 

 v 



v 



{^yf 



^k + v m — k — v n — k- 



{rs) r, s. 



■k — v + l. 



De i dessa serier förekommande covarianterna r/' s/, (/s) r_, 

 har Gordan kallat clementarcovariantcr.*) Dessa äro de enklaste till formen 

 rj" Sy" hörande covarianter och bilda sig emellan ett system af former, hvilka 

 vid invariantbildning ersätta formen rj" s/.**) 



2. Enligt ett för invariant -theorin vigtigt theorem kan hvarje covariant 

 eller invariant af en hinär form framställas som en summa af hildningar, 

 Jivilka erhållas genom upprepade öfverskjutningar af grundformen öfver sig sjelf. 

 Alla dessa öfverskjutningar äro naturligtvis af samma grad ej allenast i afse- 

 ende på de variabla utan också i afseende på grundformens koefficienter. 

 Emedan de binära formerna bilda ett afslutadt formsystem och det således 



*) Math. Annal. Ill, pag. 360. 



**) Clebsch. Binäre Formen, pag. 39. 



