173 E. BONSDORFF. 



alltid finnes ett begränsaclt antal former, medelst hvilka alla öfriga till samma 

 grundform hörande bildningar rationelt med numeriska koefficienter kunna 

 uttryckas, är det tydligt, att de s<ärskilda öfverskjutningarne, af hvilka en form 

 utgör ett aggregat, kunna uttryckas medelst ett antal fundamentalformer. En 

 af invarianttheorins hufvuduppgifter måste framställandet af de hinära formerna 

 medelst minsta möjliga antal till samma grundform hörande covarianter och 

 invarianter anses vara. Den vanliga methoden för att uttrycka en form består 

 i följande. Den definierade formen framställes i grundformens symboler medelst 

 upprepade polarisationer. De skilda termerna i den erhållna utvecklingen 

 söker man härefter medelst identitetssatser uttrycka i enklare former. Såsom 

 ett exempel på denna method anföra vi här nedan utvecklingen af formen 



der f = a/ betecknar en form af fjerde graden och «/ dess Hesseska cova- 

 riant. Genom polarisation finner man 



Sättes i stället för y en ny symbol c af grundformen och resultatet multipli- 

 ceras med c/, erhålles 



{aafa^a: = f (abf (ac) (be) aj^ c: + i, {ahj {acfh: c^ . 

 Enligt en bekant identitetsformel har man 



{alf{ac){hc)a^h^c^ = {aby{ac)h^c^ [h,Xac) — c^{ah)] = 

 {ahf (acf 6/ c/ — (abf (ac) &^ c/ 

 och således 



(««)'= a/«/ = («&)' (ac)' &/ c/ — I {abf{ac)b^c^\ 

 I det man upphöjer till fjerde digniteten identiteten 



a^{bc) = b^{ac) — c, {ab), 

 finner man, att 



{abnacfb:c:~ = -* {abf{ac)b,c: - h if^ 



der i betecknar invarianten {abf. Man har vidare 



(abY{ac)bc: = i {abf c: {(ac)b, — {bc)a^} = è (ab)' c^ 



Således finner man slutligen 



{aafa^a: = 1 if- L if^ ^ if. 



Denna method, hvilken i enklare fall, såsom det ofvan anförda, nog has- 

 tigt leder till det önskade målet, erbjuder ej ringa svårigheter, ifall formen är 

 af högre ordning i afseende på grundformens koefficienter. I detta fall erhålles 

 genom polarisation ett stort antal termer, livilkas reduktion till enklare former 



