174 E. BONSDOEFF. 



3. Dessa allmänna principer vilja vi nu tillämpa i speciella fall. Vi 

 skola först behandla några enskilda fall samt derefter utveckla allmänna re- 

 lationer emellan binära formers covarianter. Såsom ett första exempel skola 

 vi utveckla den i (2) på annan väg erhållna covarianten {aaf a/ k/, som utgör 

 andra öfverskjutningen af den biqvadratiska formen öfver dess Hesseska cova- 

 riant och som således enligt Gordan kan betecknas symboliskt med («, ff. 

 Formen 



(«, fy = {aaf a: a: 



uppstår genom två faltningar af 



Denna produkt uppstår åter genom två faltningar af a* bf c/. Vi skola således 

 utföra fyra faltningar med sistnämnda produkt. För detta ändamål bilda vi 

 af faktorerna a^. och hj. determinanten (ab) samt af »^ och c^ faktorn (acf. 

 Beteckna vi den sålunda erhållna covarianten med /f, finna vi 



K = [ab] {acf b/ c^. 



I K sätta vi först ij i stället för b. I det vi utelemna faktorn 6/, hafva 

 vi att utveckla i serie {acfayC^. Enligt foimeln (II) finna vi 



{acfa^c^ = ^ i{xy). 

 Sättes i detta uttryck b i stället för ij och den utelemnade faktorn J/ åter- 

 ställes, erhålles 



K = i if. 



Sätta vi för det andra i K y i stället för c och utelemna faktorn c^, finna 

 vi enligt formeln (II) 



(«&)«/&/ = [(«&)«/ 6.a» + I (yx)[{abfa:b:i. + 

 T% {{abfa,b:),^(yxf + { {abf{yx)\ 



Första och tredje termen i denna utveckling försvinna identiskt och vi få 

 således 



(ab) af b/ = | aj" a,^ (yx) -[- -i- i{yxf. 



Sätta vi i denna eqvation c i st. för y och multiplicera med Cj., erhålla vi 



K= ^ {acf a^c: -^ ^ic^ = % («, ff + i ^/: 

 Jemnföra vi slutligen de båda värdena af K, få vi 



I («, fY H- i if =hif 

 och deraf 



(«, ff = h if- 



