Om hinära formers covarianter (resp. invarianter). 187 



Häraf erhålla vi således 



(a, ay = [/■, (/•, aff - f [f, (f, «)T - J», («, ßf, 



I högra membrum af denna eqvation skola vi införa värdena på {f, af och 

 {f, cc)* ifrån (6) och (7). I ifrågavarande fall blir 



(/; «)' = T^ö (f, ß) och {f, aY = - i- if, ßf. 

 Vi erhålla således 



(«, «y = tV [/", (/", /3)]' + u if, if, ßn - tV («, ^r- 



I (4) hafva vi^funnit 



[/; if, ß)T = § («, «^ - /5 ß' 



If if ßff = («, ßf + tV ß'- 



Insätta vi dessa värden i uttrycket för («, «)^, finna vi efter några lätta re- 

 duktioner det synnerligen enkla uttrycket 



{a, ay = I (a, ßf + ,,\- ß\ 



11. Slutligen skola vi ännu taga till behandling funktionaldcterniinanten 

 af en form och dess Hesseska covariant. Såsom bekant låter qvadraten af 

 tvenne binära formers funktionaldeterminant uttrycka sig medelst de båda for- 

 merna och öfverskjutningar emellan desamma.*) Ifrån detta allmänna uttryck 

 kunde med lätthet det speciella fallet, då de båda formerna utgöras af grund- 

 formen och dess Hesseska covariant, härledas. Då vi likväl genom de i det 

 föregående utvecklade allmänna relationerna äro i tillfälle att medelst sjelfstän- 

 diga (fundamental) former uttrycka funktionaldeterminantcns qvadrat, vilja vi i 

 det följande direkte utföra beräkningen. 



Vi beteckna grundformen med /' = a" och dess Hesseska covariant med aj'\ 

 der m = 2n — 4. Funktionaldeterminanten är således 



T — {aa) aj'~' cC~'. 

 För att finna uttrycket för T\ skola vi först bringa T under detcrminantform. 

 Af definitionen på funktionaldeterminant följer först, att 



_ a, ar' a, a^ 



^ — «1 «/'-' a, ar' 



Denna déterminant kunna vi skrifva under formen 



cii Xi -|- «1 «2 X2 «1 «2 Xi -\- ai x.i 





*) Jmf. Clebsch, Biniive Formen, pag. 119. 



