Sur le discriminant cTune équation de Laplace. 263 



^22 f*33 '^22 ^33 



>/6 



IF— =- «1 



U) t/TT '44; 



ftaa öl 



, _x "'as "'11 



16) --1^ = «24, 



1/6 

 «11 «au 



^24) 



nous aurons ensuite, en identifiant les équations (13) et (14), 



17) («u + «22 4- «33)^ — 3 («11 «20 4- «11 «33 + «22 «33 " «il «13 — «23) = 



3(«12 + «13 + «14 + «23 -]- «24 + «s')- 



Le théorème de Jacobi, s'exprimant par la formule 



^ da,, da,^,^ da,, da,^,,^ c?«,. ,, d«,,, ' 



nous donne aussi 



d = 



222 



V «22 «33 «23 «33 «11 «31 «11 «22 «lä 



19j 



«11 «22 



«u «22 + «U «33 + «22 «i 



2 2 2 



33 «12 «13 «23 



«11 ~| «22 n~ «33 



La dernière expression s'obtient en additionnant les numérateurs des frac- 

 tions précédentes ainsi que leurs dénominateurs. Ce procédé, dû à Eucli- 

 de '), pourrait en effet faciliter bien des recherches ; nous le tenons de l'ex- 

 cellent traité de géométrie analytique de M. Lindelöf. 



En développant le déterminant d, d'après un autre théorème connu, nous 

 aurons encore 



ô = 



«11 «11 + «21 «21 + «31 «31 = 

 20) «,, «12 -\- «22 «22 + «32 «32 = 



«13 «13 ~r~ «23 «23 ~V «33 «33 ^^^ 

 «11 «11 "T" «22 "'22 ~\ «33 «33 r 2 «12 «12 -\~ ^ «13 «13 |~ 2 «23 «23- 



3 



Cette expression résulterait aussi de l'application du théorème d'Eulcr sur 

 les fonctions homogènes; elle se trouve d'ailleurs, avec les identités (19), 

 déjà cher Lagrange ^^) 



ï) Elementa V 12. 

 •■2) 1. c. p. 149. 



