366 E. SOÜKANDER. 



2([«13 ßu]' + Ka «3l]') = ([«12 «ij — [«12 «24])' + [«1 2«34]', 



3 1) 2([ai3 «sJ' -j- [«,3 «1 J) = ([«13 «3J — [«13 «u])' + [ai3 KuJ, 



2 ([«23 «äj' + [«23 «34]') = ([«23 Koj — [«03 «31])' -f [«,3 auf. 



A l'aide de ces relations, rapi)ortées i)ar Hesse, le discriminant prendra 

 entin la forme de sept carrés de Kummer et Jacobi. 



Si le discriminant de l'équation cubique venait à s'évanouir, le lieu géo- 

 métrique de l'équation 



32) «„*' +«22^' + fl'33^'+ 2«3o2/^ + 2«i33:2 + 2a,r,xy + 2a,^x + 2a,,y-i- 2a,,z-\- a^^^O 

 en coordonnées rectangulaires serait une surface de révolution du second ordre. 



Pour obtenir les caractères anatytiques de ces surfaces, étant donné 

 qu'aucun des coefficients 0,3 «13 «,2 ne soit nul, nous n'aurons qu'à égaler à zéro 

 deux des trois premiers carrés (25). 



Pour le démontrer nous avons d'abord l'identité suivante de M. Bauer, 



33) «12 [«13 «23] + «13 [«23 «12] + «23 [«12 «is] = 0, 



et, par un changement partiel des indices, les relations 



«12 [«U «23j + «14 [«23 «12] + «23 [«12 «u] = 0, 



34) «12 [«13 «34] + «13 [«34 «12] + «34 [«12 «is] ^= 0, 

 «24 [«13 «23] + «13 [«23 «24] + «23 [«24 «13] = 



et 



35) «31 [«13 «u] + «13 [«U «34] + «14 [«34 «13] = 0. 



Ces relations et les identités (27), (29) et (30) montrent en effet que 

 dans ce cas les autres carrés s'évanouissent aussi. Les conditions précéden- 

 tes peuvent s'écrire 



, c'ia '^la ^23 



^^ «12 «13 «23 



Si un seul des dénominateurs est nul, les trois premiers carrés ne pour- 

 ront s'évanouir. 



Pour les autres cas l'égalité (25) nous donne 



«12 = «13 = 0, A' = [(«22— «33)' + 4«33j [(«33— «11) («11" «22) + «23]', 



37) (In = «23 = 0, A' = [(«33— «11)' + 4«ifi] [(«u— «22) («22— «33) + «.y, 

 «13 = «23 ^=0, /\^= [(«11— «22)' + 4«i2] [(«22 — «33) («33— «11) + «12]' 



et 



38) «13 = «13 — «23 = 0, A' = [(«11 — «22) («U— «3ô) («22— «33)]'- 



De là les conditions 



