Sicr le discriminant cVune équation de Laplace. 



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et par a'-'f,! les éléments du déterminant d'", nous aurons facilement 



50) «(«)==<) = ^öWöC«-.-) 



' .9=1 



OÙ r est un nombre quelconque de zéro à in et a*^' 1 ou selon quo i est 

 égal ou non à A', li3'pothèse qui en effet satisfait à l'égalité 



51) 6' = \. 



En mettant dans le déterminant fi'" é"f—x à la place de «';"' et en 

 l'égalant à zéro, nous obtiendrons une équation qui a pour racines, comme 

 l'a montré M. Borchardt, les m'''™''^ puissances des racines de l'équation gé- 

 nérale ; et de là 



52) s,„ =~è a^ = 2 «w «('«-■) (?, ^ = 1 , 2 . «). 



Les formules (50) et (52) sont dues h M. Borchardt, et la voie qui nous 

 les donne ici, à une remarque de M. Henrici '). 



A l'aide de ces formules chaque élément du déterminant (49) sera re- 

 présenté par 



53) 



Ce déterminant est composé des systèmes 



1 1 1 .000 .000 



f,(p) fj(p) f,W fÅp) f,(p) f,(p) ffip) f](p) n^p) 



'hl "22 "■33 • "■12 "iS "23 • ""il "■31 "'32 



|111 .000.000 



(5) /,(?) /,(«) 



«(«) /7'"* «''' 



"■11 ""22 "33 



"12 «13 ^*23 • «21 ^31 '^32 



Le théorème de Binet et Cauchy, si nous l'appliquons ici, nous donnera 

 donc 



H(& «SI' + «'!? a\f + aif 4f + . + 12«"" 12«"" + 13«"" 13«"" + .3«^"' 23«*'' + . ), 

 où 



1) Journal de M. Borchardt t. G.") p. 18. 1866. 



