I. 



En ny serieutveckling för funktioner af rationel karakter. 



Herr Weierstrass har uti sin sista klassiska afliaiuUiiig : „Zur Theorie 

 der eindeutigen analytischen Funktionen" *) infört följande nya terminologi. 



En entydig funktion F {£) sages förhålla sig regelbundet — regidärt — 

 uti omgifningen af ett bestämdt ställe «, om funktionen för alla värden af x 

 inom ett område, för hvilket absoluta beloppet**) till {x — a) är mindre än ett 

 visst gränsvärde, kan uttryckas under formen af en absolut — obetingadt — 

 konvergerande potensserie***) 



Co + C, {x - a) + Ci {?c- - af + , 



livars koefficienter hafva bestämda af x oberoende värden. Detsamma gäller 



också om a — -^ , i det formoln 



1 

 X - -^ 



i detta fall erhåller betydelsen -^ . Stället a sägcs vara ett regelJmndet eller 

 regulärt ställe. 



*) „AbhaiidUingen der Konigl. Académie der Wissenschaften zu Berlin, 187G." 

 **) absolut belopp = modul. Termen absolut belopp har blifvit införd af Herr Weierstrass, 

 för att undvika den osäkerhet, som uppkommer deraf. att ordet modul inom matematiken redan har 

 flere olika betydelser. Absoluta beloppet till en storhet a tecknas af Herr Weierstrass \a\ . 



m 



***) En serie /^'r säges vara konrerpent, om för hvarje positiv r]vautitet t det gifves ett 



o r 



motsvarigt helt tal m sådant att 



" + ;' 



iX'vi- 



sa snart n ^ m och n och p äro hela tal, i öfrigt hvilka som helst. 

 Serien säges vara absolut konvergent, om den motsvariga serien 



II- 



I«, I 



o )■ 



är en konvergent serie. Ku absolut konvergent serie säges vara obefinejadt konvergent, emedan den- 

 samma alltid konvergerar och alltid bibehåller samma värde, huru dess termer också blifvit ordnade. 



