276 Ct. Mitïag-Lefflee 



En entydig funktion F {x) sages förhålla sig oregelhundet — irregiilärt — 

 uti omgifningen af ett bestämdt ställe, om det icke gifves något område om- 

 kring detta ställe, för livilket funktionen låter uttrycka sig under den ofvan 

 angifna formen. Detta ställe säges vara ett singuläri ställe. 



Om funktionen för alla värden af x inom ett område, för livilket absoluta 

 beloppet till {x — «') är mindre än ett visst gränsvärde, kan uttryckas under 

 formen af en absolut konvergerande potensserie 



c_,„ {x - a')-'" + o _ („, _. ,, (.r - a') - "" ' " + c _ ,„ _ „ {x - a') " '"' -' + . . + 



C_i (iC-a') - ' + Co + f'i ("t:- «') ^- Cä («-«T + 



i hvilken m betyder ett positivt helt tal och för hvilken koefficienterna hafva 

 bestämda af x oberoende värden, så säges d vara ett oväsendtligt singidärt ställe. 



Ett singulärt ställe «", för hvilket det icke gifves någon omgifning, inom 

 hvilken funktionen kan uttryckas under den sednast angifna formen, säges vara 

 ett väsendtligt singulärt ställe. 



Det låter nu lievisa sig, att den klass af entydiga funktioner, hvilken 

 omfattar de rationella algebraiska funktionerna af en variabel x, kan karak- 

 teriseras derigenom, att funktionerna inom området för variabeln x icke ha 

 några andra singulära ställen än oväsendtliga dylika. 



Den närmast stående klassen af funktioner omfattar, som Herr Weikrstrass 

 visat, alla entydiga funktioner, hvilka ha ett ändligt antal väsendtliga singu- 

 lära ställen. 



Bland dessa funktioner äro åter de särskilt anmärkningsvärda, hvilka en- 

 dast ha det ena väsendtliga singulära stället x = —-. Emedan dessa funktioner 

 öfverallt utom för stället 



X ■ 



förhålla sig som rationella algebraiska funktioner, har jag kallat desamma 

 funktioner af rationel karalcter*). I de undersökningar, hvilka jag nu går att 

 offentliggöra, kommer denna benämning att bibehållas. 



Om en funktion af rationel karakter icke har något oväsendtligt singulärt 

 ställe säges den vara en funktion af hel karalcter, eller också i öfverenstäm- 

 melse med Herr Weierstrass en entydig hel funktion, eller då ingen tvetydig- 

 het kan uppkomma endast en hel funktion. En dylik funktion kan alltid ut- 

 tryckas under formen af en efter hela och positiva potenser af den oberoende 



*) „En metod att analytiskt IVamställa on tiinktioii af rationel karaktei-'- etc. Öfvcrsigt ai'Kngl. 

 Svenska Vetenskapsakademiuns Foihandlinsai'. IS7(j. N:o G. 



