278 G- Mittag-Lefflek. 



Jag vill nu införa z som variabel och antaga att x är ett gifvet ställe 

 inom området för denna variabel, hvilket icke är noll och icke sammanfaller 

 med något af ställena 



*^1 "^2 "^3 • ■ • • ^-'f • • • • • 



Jag framställer härefter den nya funktionen 



f (^) / ^.- V 



z — x 



Det gifves alltid en bestämd omgifning af stället a,., för hvilken denna 

 funktion låter uttrycka sig genom en absolut konvergerande potensserie, hvil- 

 ken fortskrider efter hela potenscr af [x — x) och endast innehåller ett änd- 

 ligt antal negativa potenser. Jag vill bestämma koefficienten till {z—x,)~'^ 

 uti denna potensserie. 



Om man sätter 



z — x \ z J ^ " \ x — x,.' ' ^' \ z . . 



/■ ■ • ■ (4) 



- -^- f (.). (-"-)" ( 1 + ^^- + (— -f + ('~^i + . . . ) 



X — x,. ^ '^ \ z I \ x — x,.\x — xj \.-r — xj 1 1 



så inses utan vidare, att denna koefficient blir 



- K,-i =-{ K-,n, (•* - •^'■)~"' + ^'V, -(,„,-!) (« - -^v) "+'■ " 'V K~ 1 (•« - ■'^-■) )■■■ (ö) 



Om vi nu bilda funktionen 



z — x ' \z I 

 så gäller nu densamma, att det alltid gifves en bestämd omgifning af stället 

 = 0, för hvilken funktionen låter uttrycka sig genom en absolut konverge- 

 rande potensserie, hvilken fortskrider efter hela potenser af z och endast 

 innehåller ett ändligt antal negativa potenser. På samma sätt som vid formel 

 (4) erhålles också, att koefficienten till z~ ' uti denna potensserie är 



-K-^--\ n^)+f'i(^)- p:+r'(o). j^- +..+no), j:„_i | . . 



om stället z = O icke är ett singulärt ställe, och att densamma är 



7 ( ~" '"o . — ('»o — ' ) — M 



— Il —~{c X -]- e X + . . . + c X 



0,-1 I 0,-mo O,- (,„„-!)■' ^■••^ n,_l'' I 



(6) 



(7) 



