üeher cyUisch-projektivische Systeme. 333 



eine imaginäre Wurzel in der Gleicliung a;* -1- 1 = ist, tindet man, dass die 

 drei oben erwähntou Düppelverhältnisse aeqviauharmouisch sind. In gleicher 

 Weise findet man, dass die Doppelverhältuisse 



{abon), (bcan) und (cahn) 



auch aeqvianharmonisch sind. Dieselben sind nämlich gleich 



—^, j^ und — f, d. h. sämmtlich gleich — e, 



welche die zweite imaginäre Wurzel der Gleichung «^ -|- 1 r= ist. Wir 

 erhalten somit den Satz: 



Die Elemente der cuhischen Form hilden mit Jedem, Elemente deren Hes- 

 sescher Form ein aeqvianharmonisclies Doppelnerhältniss. 



Umgekehrt kann gezeigt werden, dass tvenn drei Elemente a, b und c 

 ein aeqvianharmonisches Do2)pelverhültniss mit jedem der beiden Elemente m 

 und )i bilden, die Elemente a, b und c unter sich ein ctjldiscli-projektivisches 

 System mit den Dopiielelrmenten m und n machen. 



Nach der Definition des aeqvianharmouischeu Doppelverhältnisses ist 

 nämlich 



(abcm) = (ampc) 



(üben) = (anbc). 

 Weil 



{ambc) = {bcam) 



{anbc) = {bcan), 

 wird 



{abcm) = {bcam) 



{abcn) = {bcan) 



und folglich 



abcmn /\ bcamn. 



Zufolge des zuletzt bewiesenen Théorèmes kann auch direkte gezeigt wer- 

 den, dass die Hesse'sche Covariante die beiden Doppelelemente der cuhischen 

 Form bildet. Nimmt man nämlich Bezug auf die bekannte Kelatiou *), die 

 zwischen den Coefflcienteu einer Gleichung vierten Grades existiren soll, da- 

 mit das Doppelverhältniss ihrer Wurzeln ein aeqvianharmonisches werde, 

 sieht man, das die Elemente der Producte 



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(«1 X -\~ ((.2) («1 x^ -f- 3 a., x^ -\- 3 fflg X -j- «4) 



*) Siehe. Cremona, Eiuloituiig in eiue geometrische Theorie der ebenen Curven, pag 39. 



