336 E. BONSDORFF. 



I. Die Elemente der cubischen Form f sind conjugirt den Elementen 

 der Functionaldeterminante T in einer Involution, deren Boppelelemente Facto- 

 ren der Hesseschen Covariante A hilden. Die Elemente in A bilden mit zwei 

 Elementen in f und dem entsj^r eckend en Elementenpaar in T eine Involution, 

 deren Boppelelcmente das dritte conjurjirte Paar sind. 



II. Die Elemente in f und T hilden zwei eyMisch-projektivische Reihen mit 

 denselben Doppelelementen A. Die beiden Elemente A und ein Element a (a) 

 in f (T) bilden auch ein cyklisch-projektivischcs System, dessen Doppelelemente 

 die zu. a (a) nicht conjur/irten Elemente ßy (bc) sind. 



III. Die Elemente A bilden mit den conjugirten Elementen in f und T 

 ein harmonisches Doppelverhiütniss. Zwei Elemente in f (T) sind mit dem 

 dritten Elemente in f (T) und dessen conjugirten in T {() harmonisch. 



IV. Die Elemente in f und T bilden mit jedem Elemente A ein aeqvian- 

 harmonisches Doppelverhältniss. In einem derartigen Verhältniss stehen auch 

 die Elemente A und zwei nicht conjugirt e Elemente in f und T*). 



3. Wir haben oben gezeigt, dass zwei Elemente eines cyklisch-projekti- 

 vischen Systems mit den Doppelelementen ein Doppelverhältniss bilden, das 

 immer eine Potenz von '-j/i ist. Dieses Doppelverhältniss kann in speciellen 

 Fällen ein harmonisches sein. In einigen Fällen können auch drei Elemente 

 der Form mit den Doppelpunkten ein aeqvianharmonisches Doppelverhältniss 

 bilden. Weil die erwähnten Fälle eine grosse geometrische Anwendung fin- 

 den, wollen wir im Folgenden die Bedingungen für das Auftreten eines har- 

 monischen und aeqvianharmonischen Doppelverhältnisses bestimmen. Zu dem 

 Zwecke betrachten wir die binäre Form x" -f- y", deren lineare Factoren, wie 

 früher gezeigt, eine cyklisch-projektivische Reihe mit den Doppelelementen x 

 und y bilden. Die Wurzeln von jVi sind. 



^i ■èai (2/, 4- l)5ri 



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somit wird 



11 7 n 



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3 !r i \ t (2 ;, + 1) TT i 



(10) x" -\-y" = \x— e" yj \x — e " yj \x - e " y, 



Zwei Elemente x — e " y und x — e " y sind harmonisch conju- 

 girt den Elementen x und y, wenn 



(2 A+Jjjr i (2 ;,' + \) 3 1 i 



■K i 



e . 



*) Clehsch, Theorie der binären Formen, pag. 133. 



