Uehcr cijMi'>ch-i»ujvlctivischc Systeme. 337 



Daraus folgt 



(11) 2 (// — //) = », 



d. li. n nmss fine gerade Zalil sein. Aus (11) sieht man. dass zwei Elemente 



KJT i ß .T i 



■z — e " ij und x — e " y liarmoniscli conjugirt in Bezug auf x und ij sind, 

 wenn a — (3 die Zahl n als Factor enthält. 



Die Functionaldeterniinante enthält ausser dm beiden Doppelelementen 

 auch die Form x" — y% deren lineare Factoren 



x — e yj \x — e y) \x-\-e yj \x-\-c y, 



sind. Die Elemente der Fnnetionaldeterminante bilden mit den Doppelelemen- 

 ten harmonische Reihen. Hieraus folgt: 



Die Elemente eines cyklisch-projektivischen Systems bilden mit den Dop- 

 pelelcmentcn nur dann ein harmonisches VcrhäUniss, wenn der Grad des Sy- 

 stems (jcrade ist. Alsdann hilden die einfachen Factoren der Fanctionaldetcr- 

 minante mit denselhen Doppelelcmoitcn harmonische lieihen. 



AVir wollen nun untersuchen, welche Bedingungen ei-füllt werden müssen, 

 damit die Elemente der Form x" — y" mit den Doppelelementen x oder y 



.T i i n i 



3 , . , 3 



eine aeqvianharmunische Keihe bilden. Die Wurzeln von '] - 1 sind c ' , e 



5 n 



und e . Demnach sind drei Elemente x — r//, x — r y und x — r"y mit dem 



2 11 i J JT i 



Elemente x (resp. ij) aeqviauliarmunisch, wenn r : r : r" = 1 : e ' : e " . 

 Wir nehmen an, dass in dem cyklisch-projektivischen Systeme drei Ele- 



an i ß Ht i y n i 



mente e " , e " und e " mit dem Doppelelemente eine aeqviauharmonische 

 Keihe bilden. Dann ist 



a n i 

 n 



e = e 



ßsc i ,,2^1 



e = e 

 e = e , 



wo A- eine beliebige Zahl bedeutet. Hieraus folgt 



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