98 
också genom andra nyligen publicerade funktionsteoretiska 
undersökningar utaf den mest djupgående och egendom- 
liga karakter. Formeln har utseendet 
ma y, Na m 
Stal ae rr ln, a NN 
ad 
mma. .My Lät Ra 04 + Ma Ua I > + ct Mp Ap 
mt Mat:s: -tM, 
HVvarvid "Us Ua ses + Up äro goifna qvantiteter, hvilkas abso- 
luta belopp är mindre än 1, och a; 0. - - -&, äro arbiträra 
konstanter. Om nu P betyder en konvex polygon, hvars 
spetsar äro sådana punkter inom punktsystemet «&,; a... > 
att de öfrig blifvande punkterna äro belägna inom polygo- 
nen eller på dess sidor, så framställer det Poincaréska ut- 
trycket öfverallt utanföre polygonen P en viss entydig ana- 
lytisk funktion. Det finnes deremot ingen punkt innanföre 
eller på konturen P, sådan att för någon huru liten omgilf- 
ning som helst af densamma detta uttryck kan sättas lika 
med en konvergerande potensserie. Häraf följer dock icke 
utan vidare, att ej möjligen den analytiska funktion, hvilken 
representeras af den Poincaré'ska formeln utanföre polygo- 
nen P, också skulle kunna existera innanföre denna polygon. 
Den Wierstrass'iska formel, hvilken jag nyss anförde, repre- 
senterar ju inom halfva planet den analytiska funktionen +1, 
och denna funktion existerar också inom den andra hälften 
af planet, oaktadt formeln då icke längre återger denna utan 
i stället en annan analytisk funktion. 
Uti en afhandling, hvilken tillskickats mig af Herr 
Poincaré, och hvilken jag härmed har äran anmäla till in- 
tagande uti Societetens Akter, finner denna fråga en både 
fullständig och skarpsinnig utredning. Herr Poincaré upp- 
visar, huru hans ofvanberörda formel i sjelfva verket är ett 
uttryck för en enda analytisk funktion, hvilken har polygo- 
nen P till en verklig ”espace lacunaire” och han är härige- 
nom den förste, hvilken efter Weierstrass gifvit ett konkret 
exempel på tillvaron af dylika funktioner. Herr Poincaré 
undersöker äfven, och med den för Weterstrass egendom- 
