Einige neuere Fragen aus der Theorie der konformen Ahhüdung. 7 



Es erübrigt ersichtlich nur noch zu beweisen, dass es eine von der speziellen Aus- 

 wahl der Funktion /'(■<•) und von E unahhängige Konstante Ä'o gibt, die so beschaffen ist, dass 



(5) -f ^ Ko. 



5. Dieser Beweis kann durch Heranziehung der Ungleichung (III) vollzogen werden. 

 Aus den Ungleichungen (3) folgt unmittelbar, dass für alle \x\^ fi B (wo /i einen 

 festen Wert < 1 hat) und also umsomehr für alle \x\<i/M B 



2/1 



\ip(x)\<B.(^) '"" 



oder 

 (6) 



^ <Vb) 



Wir betrachten nun die Funktion 



(7) f (^) - ^E g^' _ _ ^ «' , 1 I 



B ~ E^ '^ B^^^'" 



Weil wie oben hervorgehoben wurde (f {x) den Kreis | a; j < -ß so schlicht abbildet, dass 



di 



der Rand durch den Punkt A^ e hindurchgeht, so bildet also die Funktion 



q>{x) — K^e' 

 B 



die ja eine einfache lineare Transformation der f Ca;)-Ebene bedeutet, den Kreis \x\<iB so 

 schlicht ab, dass der Rand des AlAildes durch den Nullpunkt geht. Bei dieser Abbildung 

 liegt der unendlich ferne Punkt nicht im Innern des Bildes. Die oben eingeführte Funktion 

 ist also für alle \x\<C.B und also umsomehr für alle | a; | ^ ^i* ^ regulär und von Null ver- 

 schieden. 



Nun ist 



^{ x)-K^e' I ^ ^(^)j K^ 

 B \ ^ B B 



Also ist nach der Ungleichung (6) für alle \x\< (jkB 



(8) 

 N:o 1. 



{x)-K^e I iKa-^--J^ , ^^ (K 



< U" + 



B \^\BJ ' B ~\B 



