Einige neuere Fragen aus der Theorie der l-onformen Ahhilduny. 9 



Speziell ist auf dem Rande des Kreises \x\^ It 



\f{x)\>K,R, 



d. h. der dem Nullpunkte näcliste FunJct der Berandung des gamen durch die Abbildung ent- 

 standenen Gebietes liegt nicht innerhalb des Kreises mit dem Radius K^ R um den NullpunM. 



Ist R^l, so konmit der näcliste Punkt des Randes dem Nullpunkte nie näher als 

 zu dem Abstände -£"„.') 



II- 



7. Die schönste Anwendimg des Satzes Ä' bildet der Satz, dass man alle diejenigen 

 einfach zusammenhängenden, iinendlichvielblättrigen Riemann'schen Flächen, die sich nicht auf 

 das Innere des Einheitskreises umkehrbar eindeutig und konform abbilden lassen, auf die ganze 

 mit einem Punkte punktierte Ebene abbilden kann. Der Beweis gestaltet sich durch Benutzung 

 des Satzes Å' überraschend einfach [Vgl. die unten zitierte Abhandlung von Koebe]. 



F sei eine beliebige unendlichvielblättrige, einfach zusammenhängende Riemann'sche 

 Fläche, ein beliebiger regulärer Punkt dieser Fläche, den wir zum Anfangspunkt der Koor- 

 dinaten wählen. 



Um herum grenzen wir eine Folge der Fläche angehöriger, einflich zusammenhän- 

 gender, endlichvielblättriger Bereiche ab 



(1) B„ B,,.--, 



so daSs 5„ im Inneren von -B„ + j liegt und dass jeder Punkt der Fläche F dadurch, dass wir 

 n hinreichend gross wählen, innerhalb -B;, zu liegen kommt. 

 Nunmehr liilden wir eine Folge von Funktionen 



(2) fA^), /2(^),.---, 

 die sämtlich in der Umgebung von die Entwickelung 



fjx) = x + --- 



haben und die so beschaften sind, dass f^ (x) das Gebiet i?„ auf eine schlichte Kreisfläche 

 konform abbildet. Es sei i?„ der Radius dieser Kreisfläche. 



Nun ist für alle Punkte im Inneren von ^„4,j und also insliesondere für alle Punkte 

 auf dem Rande von .B,, 



• !/■„+, (^) <^„+i- 



') In dieser letzten Form wird der Satz zuerst bei Herrn Paul Koebe ausgesprochen (Über die Uni- 

 fm-migierung beliebiger analytischer Kurven; Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenst-haften zu Göttingen, 1907). 

 Daselbst wird der Satz durch Heranziehung einer Riemann'schen Fläche bewiesen. 



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