Einige neuere Fragen aus der Theorie der Iconformen Abbildung. 11 



bildet das Gebiet -B,,^,, auf eine schlichte Kreisfläche mit dem Radius B,,^^ umkehrbar ein- 

 deutig ab und ist also in dem Gebiete £,_ ^ ^ .regulär, eindeutig und einwertig. Dasselbe 

 gilt dann auch im Gebiete £,, welches in -B,, , „ enthalten ist. Nun ist aber B^ auf eine 

 schlichte Kreisfläche der /',,-Ebene abgebildet, und wir können also schliessen, dass die Funk- 

 tion f„ + ^ als Funktion in der /"^-Ebene für alle Punkte 



regulär, eindeutig und einwertig ist. 



Weil in der Umgebung von auf der Fläche F 



und 





so folgt, dass die Funktion /"„^^ als Funktion in der /'„-Ebene in der Umgebung des Null- 

 punktes die Entwicklung 



/„ 4-. =/;- + ••• 



hat. 



Die Funktion f]^_^^ in der /'„-Ebene genügt also allen Voraussetzungen unseres Abbil- 

 dungssatzes A', und wir können schliessen, dass auf dem Rande des Kreises | /'„ j < i2„ 



(5) |/;,+,i:>^o-ß„ 



für alle Werte von v. 



Die obige Überlegung kann auch kurz so ausgedrückt werden, dass wir sagen: Die 

 Funktion /'„_j,, bildet 5„ und also auch den Kreis | /], | ^ ß„ schlicht ab. Bei dieser Abbildung 

 behält der Nullpunkt seine Lage und das Abbildungsverhältniss im Nullpunkt ist gleich eins. 

 Also kommt der Rand des Abbildes in der /'„_^ „-Ebene dem Nullpunkte nie näher als zu dem 

 AbStande K^Ji^, welche der Funktionen /'„_^„ (»' = 1, 2, • • •) wir auch wählen. 



Für die Riemann'sche Fläche F besagt das gewonnene Resultat, dass auf dem Rande 

 jedes Gebietes -ß„ 



(6) |/-„^„|^^»Ä (v=l, 2,..-). 



Auf dem Rande des Kreises I /„ | < R„ in der /'„-Ebene ist nun also 



/7 il 11. 1 , L ^ 1 1 1 _ _L / 1 \ 



Die Funktion 



1 1 



ist aber für alle Punkte des Kreises | /„ , < Ä„ regulär und eindeutig, und wir können also 

 den Schluss ziehen, dass die oben für den Rand des Kreises gefundene Ungleichung auch für 

 alle Punkte im Inneren des Kreises gilt. ' 



N:o 1. 



