von 



Severin Johansson. 



10. Wenn wir zur Riemann'schen Fläche zurückkehren, so besteht also unal.>hängig 

 V, für alle Punkte jedes Gebietes J5„, die Ungleichung 



Weil 



lim it^ = 00 



angenommen wurde, so besagt diese Ungleichung, dass die Funktionenfolge 



± 1 



gleichmässig gegen eine Grenzfunktion 



'»' • H,)™Ä = A+(/l-/,) + - 



konvergiert, die dann für alle von verschiedenen Punkte der Fläche -F eindeutig und regulär 

 erklärt ist, die aber im Punkte einen Pol erster Ordnung hat und folglich keine Konstante ist. 



11. Die Funktion j ist nun auf der Fläche F, wie leicht zu zeigen, eimvertig, d. h. sie 

 nimmt jeden endhchen Wert A höchstens einmal an. 



Angenommen nämlich, y würde den Wert A in zwei verschiedenen Punkten anneh- 

 men; dann ziehen wir auf der Fläche F eine geschlossene Kurve C, die diese bei.den Punkte 

 umschhesst, den Punkt aber ausschliesst. Innerhalb dieser Kurve ist y regulär. Es besteht 

 also die Gleichung 



(10) I y-^ — 2inh, 



wo das Integral über die Kurve C zu erstrecken ist und k eine ganze Zahl > 2 bezeichnet. 



Wo sei so gross gewählt, dass die Kurve C ganz im Inneren von ß,^ liegt. Weil die 

 Funktion y im Gebiete iî„ einwertig ist, d. h. jeden Wert, den sie annimmt, höchstens ein- 

 mal annimmt, so ist für alle n ^ n. 



(U) .^ T 



gleich oder 2 ist. Weil 



m I -, — — r= I -j 



