Einige neuere Fragen aus der Theorie der Ji-onfonaen Ahbildimg. 

 so folgt, dkss das Integral 



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gleich oder 2i3t sein niuss. Das steht al)er im Widerspruch mit der Gleichung (l(i), wor- 

 aus also erhellt, dass die Funktion ^ den beliebigen Wert A höchstens einmal annimmt. Aus 



' " 1 



dieser Überlegung geht weiter hervor, wenn man .4—0 setzt, dass die Funktion j den Wert 



Null überhaupt gar nicht auf der Fläche annimmt. 



12. Wenn wir nun zur Funktion /' übergehen, so hat dieselbe in der Umgebung von 

 die EntWickelung 

 (18) f=x' + --- 



und ist auf der Fläche F überall regulär, eindeutig und einwertig. Sie vermittelt also die 

 konforme Abbildung der Fläche F auf ein schlichtes, einfach zusammenhängendes Flächen- 

 stück der /"-Ebene, welches den unendlich fernen Punkt im Inneren nicht enthält. Es gilt zu 

 zeigen, dass dieses Flächenstück keinen im Endhchen liegenden Punkt unbedeckt lässt und 

 also die ganze Ebene mit Ausschluss des unendlich fernen Punktes umfasst. 



Die Funktion f ist iii jedem Gebiete B^ regulär, eindeutig und einwertig. Weil sie 

 in der Umgebung von die Entwicklung 



f^x + .-. 

 hat, so können wir genau so wie bei der Funktion /^, _^ „ schliessen, dass auf dem Rande von i)„ 

 (14) \f\^KoE„. 



Die Funktion f, betrachtet als' Funktion in der /„-Ebene, gehört nämlich, ebensowie 

 die Funktionen /;^„, zu den Funktionen, die den Kreis \f„\<-B„ so schlicht abbilden, dass 

 das Abbildungsverhältniss im Nullpunkte gleich eins ist. 



Die letzte Ungleichung sagt aus, dass in dem Abbilde der Fläche F in der /"-Ebene 

 jedes 5„ auf ein schlichtes Flächenstück abgebildet wird, welches den Nullpunkt im Inneren 

 enthält und mit seinem Rande dem Nullpunkte nie näher kommt als zu dem Abstände 



Diese Sache können wir auch so ausdrücken, dass wir sagen: das Abbild von -Fin 

 der /'-Ebene enthält im Inneren sämtliche Kreise mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und den 

 Radien KoB„. Aus dieser Tatsache geht dann hervor, .dass dieses Abbild keinen im End- 

 lichen liegenden Punkt unbedeckt lässt. 



Hiermit ist also nachgewiesen, dass die Funktion f die Fläche F auf die ganze Ebene 

 mit Ausschluss des unendlich fernen PunJctes abbildet. 



