14 Severin Johansson. 



13. Bei der ganzen obigen Entwicklung ist es gar nicht wesentlich, dass t\ das 

 Gebiet -ß,, auf eine Kreisfläche abbildet. 



(15) yi, ^2, •■•• 



eine Reihe von Funktionen mit folgenden Eigenschaften: 



Die Funktion qp,, hat in der Umgebung von die Entwicklung ■ 



(16) ,/)„ = a; + • • • 



und bildet den Bereich B^^ irgendwie so schlicht ab, dass der unendlich ferne Punkt nicht im 

 Inneren des Bildes liegt. 



Dann ist nach der obigen Überlegung, auf dem Rande jedes Gebietes B^, nicht nur 



(17) \if„\>K^R^ 

 sondern auch 



(18) |y„^,|^ZoÄ„ (r=l, 2,--.). 



Also ist für alle Punkte jedes Gebietes B^^ unabhängig von v 

 (19) 



_J 1^21 



Diese Ungleichung besagt, dass die Funktionenfolge 



1 i ... 

 Vi' fi 



gleichmässig gegen ein« Grenzfunktion 



(20) . 1 = hm ^' 



konvergiert. 



Die Funktion <p bildet dann wieder die Fläche so schlicht ab, dass das Abbild sämtliche 

 Kreise mit dem Nullpunkt der (jo-Ebene als Mittelpunkt und den Radien K^ Ä„ im Inneren 

 enthält. Dieses Abbild umfasst also alle im Endlichen hegenden Pimkte. 



Die Ebenen f und (p sind auf einander umkehrbar eindeutig und also linear bezogen. 

 Weil die Nullpunkte und die unendlich fernen Punkte einander bezw. entsprechen, -so hat diese 

 Beziehung die Form 



wo k eine Konstante ist. Weil /' und cf beide in die Entwicklung 



x + --- 



haben, so ist schliesshch h= 1, d. h. 



(21) • f=cp. • . . 



