Einige neuere Fragen aus der Théorie der konformen Abbildung. 



III. 



14. Es lässt sich nun weiter folgender Satz durch Benutzung der Li ndelöf 'sehen Un- 

 gleichungen ableiten. 



B. Wenn die Funktion 



fix) = x-\ 



innerhalb des Kreises \x\<^ R regulär, eindeutig und einwertig ist, oder also diesen Kreis so auf 

 ein einfach bedecktes Flächenstück abbildet, dass der Mittelpunkt seine Lage behält, das Äbbil- 

 dungsverhältniss im Nullpunkte gleich eins ist, und der unendlich ferne Funkt nicht im Inne- 

 ren des Abbildes liegt, und falls 



\x\<,fiB, 0<fi<l, 



so gibt es zwei von der speziellen Auswahl der Funktion f{x) unabhängige, irold aber von (i 

 abhängende, für ^ jW < 1 endliche und von Null verschiedene Zahlen 



M{ii) und m((i), 



die so beschaffen sind, das für alle der Ungleichung \x\< fi R genügende x 



mifi)^\f'{x)\<M{t.). 



Wir ziehen die drei Kreise mit den Radien '-^^ n^ 



(1) ^B, '-±^R, ^^^R, 



die eine wachsende Reihe bilden, und betrachten die Funktion 



'^' x'-x ' . 



wo X beUebig aber fest gewählt ist innerhalb oder auf dem Rande des Kreises mit dem Ra- 

 dius '-^IR. • 



Diese Funktion ist als Funktion von x für alle | x' j < R regulär und eindeutig. Für 

 ja;' =^i? ist 



\x'-x\^'^—^R 

 und 



IA^')-/'(^)l<2|A^')Lax- 



Nun ist aber nach dem Satz Å' für | a;' | = '^^ R 



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N:o 1. 



A^o' . <~t''Ä■^o"'■'-^ 



