Severin Johansöon. 



(31. |-'^$^"^|<2f^;-^.'"'^=ifw. 



Diese Ungleichung findet dann aucli sicher statt tür alle [a;'|<^-i?. Also ist insbeson- 

 dere, für ,r'-=a;, 



(4) \f'{x)\<K{i.), 



welche Ungleichung für alle \x\<_ ^^ R gilt, i) 



Wegen der schlichten Abbildung verschwindet die Funktion f {x) für \x < it nir- 

 gends. Im Nullpunkte ist /■'{0) = 1, und f (x) hat also in der Umgebung des Nullpunktes 

 die Entwicklung 



(5) /■'(x)=l + .... 



Auf die Funktion f {x) können wir also die ljn(l(;l('M"sclien Ungleichungen (1) anwenden. Wir 

 setzen — 3^''-^ statt R und 



und erhalten dann für ':i=ijR, und um.somehr für x < /j R 



{K((.)) '-"< f'{x}\<{K(,,)y+'" 

 oder 



(G) m((,)<\f'{x)\<M(^), 



wo ilf(0) = TO(0) = l und die Zahlen M i/n) und m{ij) für 0<;u-<l endlich uml von Null 

 verschieden sind. 



Die letzten Ungleichungen sagen z. B. aus, dass falls wir innerhalb des Kreises \x\<fiR 

 eine beliebige Kurve oder beliebige Kurvenstücke von der Gesamtlänge L haben, die Ge- 

 samtlänge der Bildkurven zwischen M{fi)L und m{fi)L eingeschlossen ist, wie wir auch den 

 Kreis \x\<^R schlicht abbilden, 'so dass /"'(O)— 1 ist; ein analoger Satz gilt natürlich auch 

 von Flächenstücken, wobei als Faktoren {M{(i)Y und {m{fi)Y auftreten. 



15. Aus dem Satze B lässt sich unmittelbar folgender Satz aljlesen: 



B'. Wenn die Funktion 



f{x) = ao + a^x -\- ■ ■• 



den Kreis \x <.R irgendiiie so schlicht abbildet, dass der unendlich ferne Piinht nicht im In- 

 neren des Bildes liegt, so ist für \x <.(iR, 0<,(i<^l, 



«n((it)^|-^^|<;ilf(,«), 



>ro M (fl) und m (fi) die oben eingeführten Zahlen sind. 



') Diese Abschätzung kann natürlich auch mit dem Cauchy'schen Integral gemacht werden. 



Tom. XL, 



