18 Seveein Johansson. 



d. h. bilden wir den Kreis mit dem Radius R so schliclit ab, dass der îiit.telpnnltt des Krei- 

 ses erhalten bleibt, so kommt die Formel heraus: 



(1) l^|-Ä'o'+''<; '^^ <|x|-^o '""• 



Mit Hilfe dieser Formel kann man folgenden Sats beweisen: 



C Wenn die Fuiiktion f(x) den Kreis tnit dem, Radius R um den NidlpunTct als Mit- 

 telpunkt so schlicht abbildet, dass der Nullpunkt und ein anderer innerer Punkt P fest bleiben 

 und dass der unendlich ferne Punkt nicht im Innern des Bildes liegt, so ist für alle dem 

 Kreise angehörigen x 



2 ^f° , -2- 



/' + /'o 



x\-K, 'i + '"^^-"''^|/'(x)|<,a;|.Ko "-'"'i + ''»', 

 _ I a: 1 



Wenn wir nämlich in die Formel (1) die Werte 



\x\^ÖP, \f{x)\ = ÖP 

 eintragen, so wird 



(2) ü:o'"''"<|a, i<;^o '+"", 



welche Formel aussagt, dass uenn wir die im Satze C genannte Abbildung ausführen, das 



Qp 



Abbildungsverhältniss im Nullpunkte zwischen zwei nur von jU„ = -^ abhängenden, für alle 



den Ungleichungen < (Wq < 1 genügenden /j^ endlichen und von Null verschiedenen Zahlen liegt. 



Durch Multiplikation der Formel (1) und (2) folgt unmittelbar der Satz C. 



Ist speziell /* = 1, so ist 



1 + /' . 



(3) \f{x)\^B.K,'~'\ 



Es besteht also folgender Satz: 



C. Wenn ivir den Kreis | a; | < iE so schlicht abbilden, dass der Mittelpunkt und ein 

 anderer innerer Punkt fest bleiben und dass der unendlich ferne Punkt nicht im Innern des 

 Bildes liegt, so liegt der dem Nullpunkte nächste Punkt der Begrenzung des Bildes nicht inner- 

 halb des Kreises mit dem Radius 



Q — R-K^ , fi^ = ^ 



um den Nullpunkt als Mittelpunkt. 



18. Durch Heranziehung des Satzes C" lässt sich nun wieder in einfacher Weise das 

 Problem der Uniformisierung einfach zusammenhängender Riemann'scher Flächen lösen. 



Tom. XL. 



