22 Severin Johansson. 



Weil der Nullpunkt und der Punkt Qe in Bezug aut diesen Kreis symmetrisch liegen, so 

 ist weiter auf der Peripherie 



!^,l 1 



I O'l Vi— p2 



und also | »? | = 1 oder 



Der gezogene Kreis teilt also das Innere des Einheitskreises in zwei Teile. Auf den 

 Rändern dieser Teile verschwindet u —u. In dem den Nullpunkt enthaltenden Teil ist 



ist M — m" <0 und wird im Punkte qc unendlich gross wie log | iji — e e |. 



Durch Vermittelung der Funktion »/ wird folglich der erste Teil auf das Innere des 

 Einheitskreises, der zweite auf das Äussere dieses Kreises schlicht abgebildet. Der Nullpunkt 



> Oi 



der Î?, -Ebene wird auf den Nullpunkt der »?-Ebene, der Punkt qe auf den unendlich fernen 

 Punkt der jy-Ebene abgebildet. Derjenige Teil des oben eingeführten Kreises, der innerhalb 

 des Einheitskreises der »?, -Ebene liegt, wird auf einen Bogen der Peripherie des Einheitskrei- 

 ses der i?-Ebene abgebildet. Längs dieses Bogens hängen dann die obigen Bilder zusammen. 



Die Funktion 



( (1) 12) . , (1) l2| N 



_ rj, ._ -U -» +Hf -V )) 



vermittelt also die konforme Ahhildung des Kreises | »/i | < 1 oder der Fläche F auf die ganze 

 unendliche tj-Ehene mit Ausschluss eines Bogens der Peripherie des Einheitskreises. 



Das hiermit gewonnene Ergebniss können wir auch so aussprechen, dass wir sagen: 

 Die Reihe 



/-,7^ (1) (2) (1) (2) 



U'j Wj = «1 Wj , ö)^ = u., — u.^ , • • • 



konvergiert gleichmässig gegen eine Grenzfunktion 



(18) **' ^ li'^i *"«• 



Ist IV das zu M konjugierte Potential, so vermittelt die Funktion 



U») »/ = e 



die oben genannte Abbildung der Fläche F. 



21. Wenn die Reihe der Funktionen 



u'^ (w = 1, 2, • • •) 



