26 Severin Johansson. 



Nun ist D die schlichte Abbildung des Gebietes £_ der Fläche. Die Kreisfläche K„ 

 mit dem Radius B^ ist ebenfalls eine schlichte Abbildung von B^. Daraus geht hervor, dass 

 D eine umkehrbar eindeutige schlichte Abbildung der Kreisfläche Z, ist. Bei dieser Ab- 

 bildung sind die Punkte und P festgeblieben. 



■Nach dem Satze C" liegt infolgedessen die Begrenzung von D mit keinem Punkte 

 innerhalb des Kreises mit dem Radius 



um den Nullpunkt als Mittelpunkt. 



Weil n so gross angenommen wurde, dass 



?„ > ÖP, . .. 



so ist die Funktion W ausserhalb des Kreises mit dem Radius ?,_ regulär und folglich | W \ 

 daselbst kleiner als der grö.s_ste Wert von \W\ auf dem Rande des Kreises mit dem Radius 

 Q„. Dieser grösste Wert ist 



|iogn-f)|. 



Weil die Randkurve von D nicht in das Innere des Kreises mit dem Radius q^ ein- 

 dringt, so ist also auf dem Rande von D der grösste Wert von | W \ nicht grösser als 



|.oga-f)l. 



Nach der obigen Überlegung ist also für das ganze Gebiet D 



I ÖP I 



(30) |^-"„|^|log(l-— )|. 



25. Nun ist 



1«,^^ — w„| = |(û)„^^ — lf) + (]F-«J |< |«,^„ — M^l + |Tf -«„•]. 



Durch Anwendung der Ungleichungen (28) und (30), die ja beide für D gelten, kommt heraus 

 I ÖP I I ÖP I 



I «„+„-«, I < I logd - '^) j + 1 iog(i - ^) |, 



welche Ungleichung für alle Punkte von D gilt. 



