Einige neuere Fragen ans der Theorie der l-onformen Abbildung. 29 



Folglich ist für das ganze Gebiet D oder, wenn wir zur Riemann'schen Flüche F zurück- 

 kehren, für jedes Gebiet -B,, unabhängig von v 



I ÖP I 



(35) |«„ + „-«„|<|log(l-— )|. 



Die Ungleichung (35) besagt, dass die Folge 



gleichmässig konvergiert. 



26. Ist w das konjugierte Potential zu «j, so kann ic aufgefasst werden als die Grenze 

 der Funktionen 



wo v'„'' und v'^' die konjugierten Potentiale zu u^ und w,, bedeuten. Dabei muss über die in 

 diesen Funktionen auftretenden additiven Konstanten passend verfügt werden. 

 Bilden wir schliesslich die Funktion 



-{w + i w) 



»/ = e , 



so kann diese Funktion wieder aufgefasst werden als limes der Funktionen: 



• («, + i iv^) 



Es erübrigt noch zu untersuchen, welche Eigenschaften in Bezug auf die konforme 

 Abbildung der Fläche F die Funktion ^ hat. 



>1 ist ersichtlich auf der Fläche F eindeutig und hat in 0*^' einen Nullpunkt erster Ord- 

 nung und in 0*'^' einen Pol erster Ordnung, ist aber sonst auf der Fläche F regulär und von 

 Null verschieden. 



Ganz genau so wie oben S. 21 können wir zeigen, dass die Funktion 



- ((»„ + i w„) 



fj^^ e " " 



die konforme Abbildung des Bereiches -B„ auf die ganze einfach bedeckte //„-Ebene mit Aus- 

 schluss eines Bogens der Peripherie des Einheitskreises vermittelt. Durch Auswahl der 

 Konstante in «t; , können wir erreichen, dass dieser Bogen z. B. den Punkt »;„ = + 1 enthält. 

 Weil also r]^ innerhalb B^ einwertig ist, so können wir genau so wie S. 12 schliessen, 

 dass die Grenzfunktion rj auf der Fläche' F einwertig ist und also diese Fläche auf ein schlich- 

 tes den Nullpunkt und den unendlich fernen Punkt im Innern enthaltendes, einfach zusam- 

 menhängendes Flächenstück der j^-Ebene abbildet. 

 N:o 1. 



