30 Severin Johansson. 



Weil das durch »?,^ vermittelte Abbild des Bereiches B^ den Punkt + 1 unbedeckt 

 lässt, und dies für alle Werte von n gilt, so bleibt in der ij-Ebene der Punkt + 1 von dem 

 Abbilde der Fläche F unbedeckt. Es gilt zu zeigen, dass dieser Punkt der einzige unbedeckte 

 Punkt ist. 



27. Deshalb betrachten wir die lineare Funktion von 7. 

 (36) ^=^' \^o\ = ÖP. . 



Weil das Abbild von F in der ij-Ebene den Punkt + 1 unbedeckt lässt, so ist diese 

 Funktion überall auf der Fläche regulär. Übrigens ist sie natürlich auf der Fläche einwertig. 

 Wir erhalten also durch Vermittelung von ? in der C-Ebene ein einfach bedecktes Abbild 

 der Fläche F, welches den unendlich fernen Punkt nicht im Innern enthält. In diesem 

 Abbild ist auf den Koordinatenanfangspunkt 0, und " auf einen Punkt P(Q im Ab- 

 stände OP von abgebildet. 



Nun ist f innerhalb B^^ und folglich auch innerhalb der Kreisfläche Z_ regulär, ein- 

 deutig und einwertig. Die Funktion C gibt also eine schlichte Abbildung des Gebietes B^ 

 oder der damit aeqvivalenten Kreisfläche K^ auf die f-Ebene. 



Bei dieser Abbildung der Kreisfläche K^ auf die C-Ebene, wird der Mittelpunkt der 

 Kreisfläche auf den Koordinatenanfangspunkt der ^Ebene, und der Punkt P der Kreisfläche 

 auf einen Punkt P im Abstände ÖP vom Nullpunkt übertragen. 



Also können wir nach dem Satz C schliessen, dass der Rand des Abbildes von -ET,, 

 oder von 5, in der ^Ebene mit keinem Punkt innerhalb des Kreises mit dem Nullpunkt 

 als Mittelpunkt und dem Radius 



?,. = Ä -K, *" . 



liegt. 



Das können wir auch so ausdrücken, dass wir sagen: dass Abbild von F in der 

 C-Ebene enthält im Innern sämtliche Kreise mit dem NuUpimkt als Mittelpunkt und den 

 Radien ç„. Dieses Abbild lässt folglich keinen im Endlichen liegenden Punkt unbedeckt, weil 



lim Q^=:aC. 



Nun ist 

 (87) , = ç~i^^. 



Diese Funktion von C vermittelt die schlichte Abbildung sämtlicher im Endlichen liegenden 

 Punkte der C-Ebene auf sämtliche Punkte der ly-Ebene' mit Ausschluss des Punktes" + 1- 



Hiermit ist also nachgewiesen, dass die Funktion tj die Fläche F auf die ganze Ebene 

 mit Ausschluss des Vuiiktes -j- 1 abbildet. 



Tom. XL. 



