Einige neuere Fragen aus der Theorie der konformen Ahhüdufig. 3 



Der Beweis dieser Tatsaciie k-M\u auch folgendermassen gefülirL werden. 

 Die Ungleicliung (35) 



TTP I 



|«„ + „-«,|<|log(l-^)| 



gilt imabhängig von v für das Gebiet B^^. Also ist 



I OP I 



|«-«,|<|log(l-^)| 



für alle Punkte von B^. Auf dem Hände dieses Bereiches, wo «)„ verschwindet, ist also 



|«|< log(l----)|. 



Nun ist • 



« = — log I 1? I . 

 Also ist auf dem Rand von B^ 



I log I ^ i k log (1 - "^) I 

 oder 



OP 1 



(38) l-^^l^l^— S=. 



Diese Ungleichung besagt, dass in dem schlichten Abbilde von F in der j^-Ebene das 

 Gebiet B^ auf ein Flächenstück abgebildet wird, dessen Berandung nicht aus demjenigen 

 Kreisringe austritt, welcher von den Kreisen mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und den 

 Radien 



?.. 



und 



1 



1-f 



begrenzt ist. 



Weil das Abbild von B^ in der »/-Ebene den Nullpunkt und den unendlich fernen Punkt 

 im Inpern enthält, so folgt, dass das Abbild von B^ den ganzen ausserhalb dieses Kreisrin- 

 ges liegenden Teil der >?-Ebene bedeckt. Da nun lim ^^ = oo , so kann geschlossen werden, 

 dass das Abbild von F in der »/-Ebene alle nicht auf der Peripherie des Einheitskreises 

 liegenden Punkte im Innern enthält. Die Begrenzung des Abbildes liegt also ganz auf der 

 Peripherie des Einheitskreises. 



Aus dem Umstände, dass die in der »/-Ebene liegenden Abbilder der Bereiche B^ 

 sämtlich einfach zusammenhängend sind, folgt, dass die auf der Peripherie des Einheitskreises 



N:o 1. 





