Zur Theorie der Uniformisierung Bieinann^ scher Flächen. 



IL Ist U eine im Kreisringe (Ä'„ K') positive (oder negative) reguläre eindeutige Poten- 

 tialfunJction, die auf K^ verschwindet, so gibt es eine von der speziellen Ausivahl der Funktion U 

 unabhängige Zahl q, die so beschaffen ist, dass 



log^< 



Ü{P) 



<q-\0g 



Weil nämlich U in dem ganzen Kreisringe (Z, K') ihr Vorzeichen behält, so gibt es 

 nach dem Harnack'schen Prinzip ') eine von U unabhängige Konstante q, die so beschaf- 

 fen ist, dass auf der Kreislinie E^ 



(5) ]^-.U(P) 'r:U<q.UiP). 



Aus diesen Ungleichungen folgt 



2^/ ^^" 



und schliesshch 



1 277;/ ^''«^ 



q 1 f dU , ^ 



ZtzJ d V 



U(P) 



<q 



oder 



(6) 



q. e. d. 



i.,.,^<,^ia_ 



1 r du , 



Vj-- j -r-j de 



1 r du . 



2-^ •',, ^ '^' 



<1- log!:!^, 



4. Schliesslich wollen wir noch folgenden Konvergenzsatz beweisen: 

 III. Es sei 



Ui£Ui£ 



<U< 



eine zunehmende Reihe von PotenfialfunJctionen, die sämtlich auf der Kreislinie Kq verschwinden 

 und im Kreisringe [K,, K') positiv, Tegulär und eindeutig sind. Dann ist die notwendige und 

 hinreichende Bedingung für die Konvergenz dieser Reihe, dass die ebenfalls zunehmenden 

 Zahlen 



2st.j_dv 2 3t.} _ dv = =2n.)_dv 



unterhalb einer endlichen Zahl bleiben. ".■' 



Findet Konvergenz statt,' so verschwindet die OrenzfunMion 



U— lim U ■ ,. • ,.y . 



') Haunack: Das logarithmische Potential, S. 62. 



