6 Severin Johansson. 



auf der Kreislinie K^ und es ist 



J_ r àU 



2st . 



l_ C àU„ 



Der Beweis des ersten Teils ist unmittelbar aas dem Satze II abzulesen. Nach dem 

 Harnack'schen Prinzip konvergiert oder divergiert die Reihe der Funktionen Z7,, jenachdem die 

 Zahlen 



U, (P) <lh{P)û---ûU^{P)<,--- 



unterhalb einer endlichen Grenze liegen oder ins Unendliche wachsen. Nun ist aber nach dem 

 Satz II 



Diese Ungleichungen besagen, dass die Reihe der Zahlen C/_ (P) und diejenige der Zahlen 



dU 



1 f '^u 

 — -^— da 

 Ist J V 



gleichzeitig unterhalb einer endhchen Grenze bleiben oder gleichzeitig ins Unendliche wachsen. 

 Damit ist der erste Teil des Satzes bewiesen. 



Wenn nun die Reihe der Funktionen f/, gegen eine Grenzfunktion konvergiert 



U^ lim [/„, 



so ist diese Grenzfunktion imjnnern von {K^K') eine reguläre eindeutige Potentialfunktion. 

 Diese Potentialfunktion nimmt auf -fi", analytische Werte an. Bilden wir jetzt diejenige Funk- 

 tion w, die auf K^ verschwindet und auf der Kreislinie K^ die Werte von V annimmt, so ist 

 im Kreisringe {K^K^ 



und also in demselben Gebiete 



(8) w > U. 



Diese Beziehung besagt, dass U auf der Kreislinie -K"o den Wert Null hat, oder genauer aus- 

 gedrückt, dass die positiven [/-Werte unter jede Grenze sinken, wenn wir uns der Kreislinie 

 Ko nähern. 



Dann ist aber oi — U eine im Kreisringe {K^ K^) reguläre und eindeutige Potential- 

 funktion, die auf den Randkurven des Ringes verschwindet. Es ist also w — [7=0 oder 



[7=ft), 



