Einige neuere Fragen aus der Theorie der konformen Ahhildung. 

 und der Radius li ist der Bedingung unterworfen 



(III) 



R<2 



l«il 



i««r 



4. Durch Heranziehung der Ungleichungen (I) und (III) lassen sich nun gewisse die 

 konforme Abbildung betreffende Sätze von grosser Bedeutung ableiten. 

 Wir wollen zuerst folgenden Satz beweisen: 



Wenn die Funktion 



f(x) = a„ + a, « + 



innerhalb des Kreises \x\'CR regulär, eindeutig und einwertig ist und also die Fläche dieses 

 Kreises auf ein einfach bedecktes Flächenstück so konform abbildet, dass der unendlich ferne 

 Punkt nicht im Inneren des Bildes liegt, so gibt es eine von der speziellen Auswahl der Funktion 

 und von R unabhängige Konstante K^, (0<7io'^l)> '^^ß *o beschaffen ist, dass für alle dem 

 Kreise ungehörige Punkte x . . 



I X I • Zo 1 + " ^ I ^-^ ^» I < I . 



7C, '-". 



(1) 



Um den Satz zu beweisen betrachten wir die Funktion 



/■(^) — «0. 



<P W- 



a; + ' 



regulär; u ist aber auch für \x\<'R positiv und wir können :ilso nach dem Harnack'schen Prinzip 

 (Harnack: Das logarühmische Potential, S. 62) schliessen, dass 



oder 



dass heisst 



oder schliesslich 



KO)^M(x)^^-^.«(0) 



R~\x\, M ^ , M 



\x\ 



f(x)\ -B-|i 



■|aol' 



I «0 i - M - 



f(x) 





«0 I . 



') Die Ungleichung (III) fällt aus (II) heraus, wenn wir x = setzen. 



